Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire. Une *{bold::variable aléatoire continue} $X$ sur $\Omega$ est une fonction dont l'image de $\Omega$ est un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Une fonction $f$ est une *{bold::densité de probabilité} quand : vspace{20} $\bullet$ $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ vspace{20} $\bullet$ $f$ est continue (sauf en un nombre fini de points) et positive sur $\mathbb{R}$ vspace{20} $\bullet$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt = 1$ : l'aire sous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ vaut $1$ unité d'aire $u.a$
La variable aléatoire continue $X$ suit *{bold::une loi de probabilité à densité} $f$ quand : vspace{20} $\bullet$ $f$ est une densité de probabilité vspace{20} $\bullet$ $\displaystyle P(X \leqslant a) = \int_{-\infty}^{a}f(t)dt$ vspace{20} La fonction $P(X \leqslant x)$ (probabilité que la variable aléatoire continue $X$ soit inférieure ou égale à $x$) est appelée *{bold::fonction de répartition} de la variable aléatoire continue $X$.
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left\{\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & pour & x \in ]-\infty;1[ \\[1mm] \displaystyle f(x) = \frac{3}{x^4} & pour & x \in [1;+\infty[ \\ \end{array} \right. $ vspace{30}
Montrer que $f(x) \geqslant 0$ pour $x \in \mathbb{R}$
&
Montrer que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{1}^{+\infty} f(x)dx$
||
Pour $t \geqslant 1$, calculer $\displaystyle \int_{1}^{t} f(x)dx$
&
Calculer $\displaystyle \underset{t \rightarrow +\infty}{\lim} \displaystyle \int_{1}^{t} f(x)dx$
Déduire des questions précédentes que la fonction $f$ est une densité de probabilité.
vspace{20} On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi probabilité de densité $f$. vspace{20}
Calculer $P(X \leqslant 3)$ puis $P(X \in [1;+\infty[)$
&
Calculer $\displaystyle P(X \leqslant \frac{3}{2})$
||
Déterminer la fonction $F$ de répartition de $X$ sur $[1;+\infty[$
&
Etudier les variations de $F$ sur $[1;+\infty[$
||
Dans un repère adapté, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_F$ de $F$.
&
Graphiquement puis par le calcul, déterminer $a$ tel que $\displaystyle P(X \leqslant a) = \frac{1}{2}$
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant une loi de probabilité à densité $f$ et $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ : vspace{15} ,, $P(X=a) = 0$ vspace{15} ,, $\displaystyle P(X\geqslant a) = 1 - P(X \leqslant a) = \int_{a}^{+\infty} f(t)dt$ vspace{15} ,, $\displaystyle P\big(X \in [a;b]\big) = \int_{a}^{b} f(t)dt$
vspace{20} Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left\{\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & pour & x \in ]-\infty;1[ \\[1mm] \displaystyle f(x) = \frac{7}{x^8} & pour & x \in [1;+\infty[ \\ \end{array} \right. $ vspace{20} On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi probabilité de densité $f$. vspace{30}
$P(X=6)$
&
$P(X \geqslant 10)$
||
$P(X \in [2;3])$
&
Déterminer le réel $a$ tel que $P(X \geqslant a) = 1\%$
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant une loi de probabilité à densité $f$. L'*{bold::espérance} de $X$, notée $E(X)$, vaut : $\displaystyle E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $
vspace{20} Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left\{\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & pour & x \in ]-\infty;1[ \\[1mm] \displaystyle f(x) = \frac{2}{x^3} & pour & x \in [1;+\infty[ \\ \end{array} \right. $ vspace{20} On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi probabilité de densité $f$. Calculer $E(X)$.
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant une loi de probabilité à densité $f$. La *{bold::variance} de $X$, notée $V(X)$, vaut : $\displaystyle V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}\big(x - E(X)\big)^2f(x) dx $
L'*{bold::écart-type} de $X$, noté $\sigma(X)$, vaut : $\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $
vspace{20} Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left\{\begin{array}{lcl} f(x) = 0 & pour & x \in ]-\infty;1[ \\[1mm] \displaystyle f(x) = \frac{4}{x^5} & pour & x \in [1;+\infty[ \\ \end{array} \right. $ vspace{20} On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi probabilité de densité $f$. Calculer $V(X)$ puis $\sigma (X)$.
Une variable aléatoire continue $X$ suit une *{bold::loi uniforme} sur l'intervalle $[a;b]$ quand la densité de probabilité $f$ est définie par :
$\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R} & \rightarrow & [0;1] \\ x & \mapsto & f(x) = \dfrac{1}{b-a} \;\mathrm{si}\; x \in [a;b] \;(0 \;\mathrm{sinon})\\ \end{array}$ vspace{10} On note cette loi uniforme $\mathcal{U}(a;b)$.
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi uniforme} $\mathcal{U}(a;b)$ et $c$ et $d$ deux réels appartenant à $[a;b]$ tels que $c \leqslant d$. vspace{20} ,, La probabilité que $X \leqslant d$ vaut : $\displaystyle P\Big( X \leqslant d \Big) = \int_{a}^{d} \frac{1}{b-a}dx = \frac{d-a}{b-a}$ vspace{30} ,, La probabilité que $X \geqslant c$ vaut : $\displaystyle P\Big( X \geqslant c \Big) = \int_{c}^{b} \frac{1}{b-a}dx = \frac{b-c}{b-a}$ vspace{30} ,, La probabilité que $X \in [c;d]$ vaut : $\displaystyle P\Big(X \in [c;d] \Big) = P\Big( c \leqslant X \leqslant d \Big) = \int_{c}^{d} \frac{1}{b-a}dx = \frac{d-c}{b-a}$ vspace{20}
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi uniforme} $\mathcal{U}(a;b)$. L'*{bold::espérance} $E(X)$ vaut : $\displaystyle E(X) = \frac{a+b}{2}$
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi uniforme} $\mathcal{U}(a;b)$. La *{bold::variance} $V(X)$ et l'*{bold::écart-type} $\sigma(X)$ valent : $\displaystyle V(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ et $\displaystyle \sigma(X) = \frac{b-a}{\sqrt{12}}$
On considère une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi uniforme $\mathcal{U}(5;11)$. On appelle $g$ la densité de probabilité associée à $Y$. Soit $G$ la fonction de répartition de $Y$.
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.
Déterminer graphiquement $P(Y \leqslant 10)$.
Déterminer par le calcul $P(Y \leqslant 10)$.
Déterminer par le calcul $P(Y \in [6;8])$.
Déterminer l'expression de la fonction $G$.
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_G$ de la fonction $G$.
Démontrer que $P(Y \leqslant 4) = G(4)$. Calculer $P(Y \leqslant 4)$.
Démontrer que $P(Y \leqslant 12) = G(12)$. Calculer $P(Y \leqslant 12)$.
Démontrer que $P(Y \in [3;8]) = G(8) - G(3)$. Calculer $P(Y \in [3;8])$.
Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ puis $\sigma (Y)$.
Une variable aléatoire continue $X$ suit une *{bold::loi exponentielle} de paramètre $\lambda > 0$ quand $X$ *{tdu::est positive} et la densité de probabilité $f$ est définie par :
$\begin{array}{rcl} f : \mathbb{R} & \rightarrow & [0;1] \\ x & \mapsto & f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \;\mathrm{si}\; x \geqslant 0 \;(0 \;\mathrm{sinon})\\ \end{array}$ vspace{10} On peut noter cette loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$.
Soient $X$ une variable aléatoire continue positive suivant la *{bold::loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ et $c$ un réel tel que $c \geqslant 0$. La probabilité que $X \leqslant c$ (fonction de répartition) vaut : $\displaystyle P\Big(X \leqslant c \Big) = \int_{0}^{c} \lambda e^{-\lambda x}dx= \Bigg[-e^{-\lambda x} \Bigg]_{0}^{c} = 1 - e^{-\lambda c}$ vspace{20} Soient $X$ une variable aléatoire continue positive suivant la *{bold::loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ et $c$ et $d$ deux réels tels que $c \geqslant 0$ et $c \leqslant d$. La probabilité que $X \in [c;d]$ vaut : $\displaystyle P\Big(X \in [c;d] \Big) = \int_{c}^{d} \lambda e^{-\lambda x}dx= e^{-\lambda c} - e^{-\lambda d}$
Soient $X$ une variable aléatoire continue positive suivant la *{bold::loi exponentielle} de paramètre $\lambda$. L'*{bold::espérance} $E(X)$ vaut : $\displaystyle E(X) = \frac{1}{\lambda}$
Soient $X$ une variable aléatoire continue positive suivant la *{bold::loi exponentielle} de paramètre $\lambda$. La *{bold::variance} $V(X)$ et l'*{bold::écart-type} $\sigma(X)$ valent : $\displaystyle V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$ et $\displaystyle \sigma(X) = \frac{1}{\lambda}$
On considère une variable aléatoire $T$ suivant la loi exponentielle de paramètre $2$. On appelle $f$ la densité de probabilité associée à $T$. Soi $F$ la fonction de répartition de $T$.
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
Calculer $P(T \leqslant 6)$
Déterminer le réel $\alpha$ tel que $\displaystyle P(T \leqslant \alpha) = \frac{1}{4}$
Calculer $P(T \geqslant 10)$
C Déterminer le réel $\beta$ tel que $\displaystyle P(T \geqslant \beta) = 10\%$
Déterminer l'expression de la fonction $F$.
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_F$ de la fonction $F$.
Calculer $P(T \in [7;10])$
Déterminer trois intervalles $I$ tel que $\displaystyle P(T \in I) = \frac{1}{2}$. Donner l'amplitude de ces intervalles.
Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ puis $\sigma (Y)$.
Une variable aléatoire continue $X$ suit une *{bold::loi normale} de paramètres $\mu$ et $\sigma \geqslant 0$ quand la densité de probabilité $f$ est définie par : \begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} & \rightarrow & [0;1] \\ x & \mapsto & f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\displaystyle -\frac{1}{2}\Bigg( \frac{x-\mu}{\sigma} \Bigg)}\\ \end{eqnarray*} vspace{10} On note cette loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$.
Une variable aléatoire continue $X$ suit une *{bold::loi normale centrée réduite} ($\mu = 0$ et $\sigma = 1$) quand la densité de probabilité $f$ est définie par : \begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} & \rightarrow & [0;1] \\ x & \mapsto & f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi}}e^{\displaystyle - \frac{x}{2}}\\ \end{eqnarray*} vspace{10} On note cette loi normale $\mathcal{N}(0;1)$.
La probabilité associée à un événement pour une loi normale ne peut être que déterminer graphiquement ou en utilisant la calculatrice.
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi normale} $\mathcal{N}(\mu ;\sigma)$. L'*{bold::espérance} $E(X)$ vaut : $\displaystyle E(X) =\mu$
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi normale} $\mathcal{N}(\mu ; \sigma)$. La *{bold::variance} $V(X)$ et l'*{bold::écart-type} $\sigma(X)$ valent : $\displaystyle V(X) = \sigma^2$ et $\displaystyle \sigma(X) =\sigma$
On considère une variable aléatoire $Z$ suivant la loi normale de paramètre $\mathcal{N}(5;2)$.
Dans un repère adapté, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la densité de probabilité.
Hachurer l'aire sous la courbe correspondant à $\displaystyle P(Z \leqslant 2)$
Graphiquement, déterminer $\displaystyle P(Z \leqslant 5)$
Avec la calculatrice :
Calculer $P(Z \leqslant 8)$
Calculer $P(Z \geqslant 2)$
Calculer $P(Z \in [4;7])$
Déterminer $E(Z)$, $V(Z)$ et $\sigma (Z)$
Soient $X$ une variable aléatoire continue suivant la *{bold::loi normale} $\mathcal{N}(\mu ; \sigma)$.
$\bullet$ $\displaystyle P\Big(X \in [\mu - \sigma;\mu + \sigma]\Big) \approx \underbrace{0,68}_{68\%}$
$\bullet$ $\displaystyle P\Big(X \in [\mu - 2\sigma;\mu + 2\sigma]\Big) \approx \underbrace{0,95}_{95\%}$
$\bullet$ $\displaystyle P\Big(X \in [\mu - 3\sigma;\mu + 3\sigma]\Big) \approx \underbrace{0,997}_{99,7\%}$
On considère une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(8 ; 3)$. Déterminer une valeur approchée au centième des probabilités suivantes :
$P( 5 \leqslant D \leqslant 11 )$
&
$P( 2 \leqslant D \leqslant 14 )$
&
$P( -1 \leqslant D \leqslant 17 )$
||
$P( D \leqslant 11 )$
&
$P( D \geqslant 14 )$
&
$P( D \leqslant 5 )$
Soit $X_0$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ (L'Espérance $E(X_0) = 0$ et l'écart-type $\sigma (X_0) = 1$). On appelle $\Pi(x)$ la fonction de répartition de $X_0$ : $\displaystyle \Pi (x) = P(X_0 \leqslant x) = P(X_0 > x)$
$\bullet$ Pour $x \in \mathbb{R}$, $\Pi(-x) = 1 - \Pi(x) = P(X_0 > x)$
$\bullet$ Pour $a$ et $b$ deux réels, $P(a \leqslant X_0 \leqslant b ) = \Pi(a) - \Pi(b)$
$\bullet$ Pour $a$ un réel positif, $P(-a \leqslant X_0 \leqslant a ) = 2\Pi(a) - 1$
$x$ & $\Pi(x)$ & $x$ & $\Pi(x)$ || $0$ & $0,5$ & $1$ & $0,84134$ || $2,32635$ & $0,99$ & $1,64485$ & $0,95$
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma)$ alors la variable aléatoire $\displaystyle X_0 = \frac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$. vspace{5} $\bullet$ Pour $a$ et $b$ deux réels, $P(\sigma a + \mu \leqslant X \leqslant \sigma b + \mu ) = \Pi(a) - \Pi(b)$ vspace{5} $\bullet$ Pour $a$ un réel positif, $P(-a \sigma + \mu \leqslant X \leqslant a \sigma + \mu ) = 2\Pi(a) - 1$
La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(20;5)$. Avec la calculatrice, déterminer à $10^{-2}$ près le nombre $\alpha$ tel que : $P(X < \alpha) = 0,99$, $P(X \leqslant \alpha) = 0,01$, $P(X > \alpha) = 0,05$ , $P(X \geqslant \alpha) = 0,9$ et $P(20 - \alpha \leqslant X \leqslant 20 + \alpha) = 0,95$
La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;2)$.
,, Calculer $\mu$ pour que $P(X > 25) = 0,95$
,, Calculer Calculer $\mu$ pour que $P(X \leqslant 25) = 0,96$
La variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(20;\sigma)$.
,, Calculer $\sigma$ pour que $P(X \leqslant 24) = 0,9$
,, Calculer $\sigma$ pour que $P( 18 \leqslant X \leqslant 22) = 0,99$
Lors d'une réaction entre deux composés chimiques $A$ et $B$ dans des conditions identiques, la quantité de chaleur dégagée, exprimée en Joules ($J$), est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(1\;000 ; 200)$
Quelle est la probabilité que la quantité de chaleur dégagée soit inférieure à $100\; J$ ?
Quelle est la probabilité que la quantité de chaleur dégagée soit comprise entre $600\;J$ et $1\;400\;J$ ?
Quelle est la probabilité que la quantité de chaleur dégagée soit supérieure à $1\;500\; J$ ?
La durée de vie $X$ d'un composant radioactif suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ inconnu. On observe que la demi-vie du Césium $137$ est égale à $30$ ans, c'est-à-dire que sur un grand échantillon d'atomes de Césium, il ne reste que la moitié de Césium radioactif au bout de $30$ ans.
D'après l'énoncé, que peut-on dir de $P(X < 30)$ ?
Calculer cette probabilité à l'aide d'une intégrale et montrer que l'on peut écrire alors l'équation suivante : $\displaystyle -e^{-30\lambda} +1 = 0,5$
Déterminer $\lambda$
On choisit au hasard un nombre réel compris entre $10$ et $20$. On appelle $Y$ la variable aléatoire associée à cette expérience.
Avec quelle loi peut-on modéliser cette expérience aléatoire ?
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la densité de probabilité.
Déterminer graphiquement puis par le calcul : $P(Y \leqslant 17,5)$ et $P(Y \in [12,5;15])$.
Soit $F$ la fonction de répartition de $Y$.
Déterminer l'expression de la fonction $F$. Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_F$ de la fonction $F$.
Démontrer que $P(Y \leqslant 4) = F(4)$. Calculer $P(Y \leqslant 4)$.
Démontrer que $P(Y \leqslant 17) = F(17)$. Calculer $P(Y \leqslant 17)$.
Démontrer que $P(Y \in [3;8]) = F(8) - F(3)$. Calculer $P(Y \in [3;8])$.
Calculer $E(Y)$, $V(Y)$ puis $\sigma (Y)$
Une coopérative est spécialisée dans la récolte de la fleur de sel. Elle utilise une machine automatique pour remplir des sachets de fleur de sel dont la masse théorique doit être de $250$ grammes. Un sachet est dit conforme si sa masse $m$, exprimée en gramme, vérifie : $240 \leqslant m \leqslant 260$. L'étude statistique de la production permet d'admettre que la variable aléatoire $M$ qui mesure, en gramme, la masse d'un sachet suit une loi normale de moyenne $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 5,3$.
On choisit au hasard un sachet dans la production. Calculer la probabilité que le sachet soit conforme.
Calculer $P(M \geqslant 245)$.
Un gros client exigeant souhaite qu'au moins trois quarts des sachets qu'il achète aient une masse supérieure à $245$ grammes. Sera-t-il satisfait ? Justifier.