Une *{bold::expérience aléatoire} est une expérience renouvelable dont les résultats possibles, généralement appelés *{tdu::issues}, sont connus sans qu'on puisse déterminer lequel sera réalisé.
L'*{bold::univers} d'une expérience aléatoire est l'ensemble des issues possibles appelées également résultats ou éventualités. On le note $\Omega$.
Le *{bold::cardinal} de l'univers d'une expérience aléatoire est le nombre d'*{tdu::issues} de cet univers. On le note $\text{card}(\Omega)$
Donner les univers $\Omega$ des expériences aléatoires suivantes ainsi que leur cardinal :
$E_1$ : Lancer un dé à six faces.
&
$E_2$ : Lancer une pièce de monnaie.
||
$E_3$ : Choisir un nombre entier dans $[0;10]$
&
$E_4$ : Le sexe d'un nourrisson.
Une *{bold::évènement} d'une expérience aléatoire est un sous-ensemble de l'univers c'est à dire un sous-ensemble comprenant des *{tdu::issues}.
Soient deux évènements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire.
L'*{bold::union} des évènements $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des issues qui réalise $A$ *{bold::ou} $B$. On dit "$A$ union $B$".
Soient deux évènements $A$ et $B$ d'une même expérience aléatoire.
L'*{bold::intersection} des évènements $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des issues qui réalise $A$ *{bold::et} $B$. On dit "$A$ inter $B$".
On considère l'expérience aléatoire : "lancer un dé à six faces". Décrire les évènements suivants :
$A$ : "Faire un nombre pair"
&
$B$ : "Faire un nombre multiple de $3$"
||
$A \cup B$
&
$ A \cap B$
Lorsqu'on répète $n$ fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence d'une issue va avoir tendance à se stabiliser lorsque $n$ augmente. La probabilité de l'issue est très proche de la valeur stabilisée observée. Il faut s'assurer que la somme des probabilités fasse $1$
On considère l'expérience aléatoire $E_1$ : "lancer un dé à six faces" que l'on réalise un certain nombre de fois. Voici les résultats ci-contre.
Pour $n = 100$, $n=500$ et $n=1\;000$, estimer les probabilités de choisir les faces $n^\circ 1$, $n^\circ 2$, $n^\circ 3$, $n^\circ 4$, $n^\circ 5$ et $n^\circ 6$ du dé.
Nbr d'expériences $E_1$ : $n$ & $100$ & $1\;000$ & $500$|| Face $n^\circ 1$ & $18$ & $165$ & $78$ || Face $n^\circ 2$ & $16$ & $189$ & $82$ || Face $n^\circ 3$ & $17$ & $187$ & $85$ || Face $n^\circ 4$ & $15$ & $169$ & $79$ || Face $n^\circ 5$ & $15$ & $174$ & $87$ || Face $n^\circ 6$ & $19$ & $116$ & $89$
Dans un modèle *{bold::équiréparti}, chaque issue a la même probabilité qui vaut :
$ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{Nombre\; d'issues\; possibles}} = \dfrac{1}{\text{card}(\Omega)} $ vspace{5} On dit aussi que c'est une situation d'*{bold::équiprobabilité}.
On considère l'expérience aléatoire $E_1$ : "lancer un dé à six faces". On suppose qu'il s'agisse d'une situation d'équiprobabilité.
Pourquoi est-il raisonnable de choisir l'équiprobabilité comme modèle.
&
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 1$
||
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 3$
&
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $n^\circ 6$
Une *{bold::loi de probabilité} sur un univers $\Omega$ associe à chaque issue qui le réalise un nombre compris entre $0$ et $1$ appelé *{bold::probabilité}. La somme des probabilités des issues est $1$.
,, Une probabilité valant $1$ indique que l'issue se réalise à chaque expérience.
,, Une probabilité valant $0$ indique que l'issue ne se réalise jamais et ce quelque soit expérience.
La *{bold::probabilité d'un événement} est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. Pour un évènement $A$, on note sa probabilité $P(A)$.
,, Un événement *{bold::impossible} est un événement qui ne se réalise jamais. Sa probabilité vaut $0$.
,, Un événement *{bold::certain} est un événement qui est sûr de se réaliser. Sa probabilité vaut $1$.
Soit $A$ un événement. L'événement *{bold::contraire} à $A$ est constitué des issues de $\Omega$ ne se réalisant pas dans $A$ et se note $\overline{A}$. Sa probabilité vaut : $P(\overline{A}) = 1 -P(A)$.
Si $A$ et $B$ sont deux événements alors : $ \displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
On lance un dé équilibré à $20$ faces et on note le numéro de la face du dessus. On note $A$ l'évènement : "obtenir un nombre pair" et l'évènement $B$ : "obtenir un nombre multiple de $3$".
Est-ce une situation d'équiprobabilité ?
&
Déterminer $P(A)$
||
Décrire l'évènement $\overline{A}$.
&
Déterminer $P(\overline{A})$
||
Décrire l'évènement $\overline{B}$.
&
Déterminer $P(\overline{B})$
||
Déterminer $P(A \cup B)$ et $P(A \cap B)$. Vérifier la propriété.
&
Décrire les évènements $\overline{A} \cup B$ , $A \cup \overline{B}$ et $\overline{A} \cup \overline{B}$. Déterminer les probabilités correspondantes.
L'ensemble vide est noté $\cancel{0}$
Soient deux évènements $A$ et $B$. $A$ et $B$ sont *{bold::disjoints} ou *{bold::incompatibles} quand $A \cap B = \cancel{0}$.
Soient deux évènements $A$ et $B$ disjoints alors $P(A \cap B) = 0$ et : $ \displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
On lance un dé équilibré à $20$ faces et on note le numéro de la face du dessus. On note $A$ l'évènement : "obtenir un nombre impair".
Décrire $\overline{A}$ puis déterminer $P(\overline{A})$.
Décrire $2$ évènements $C$ et $E$ disjoints de $A$.
Déterminer $P(C)$, $P(\overline{C})$, $P(E)$ et $P(\overline{E})$
Calculer $P(A \cup C)$ , $P(A \cap C)$ , $P(A \cup E)$ , $P(A \cap E)$
Soient deux évènements $A$ et $B$. La probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$ (c'est à dire que l'évènement $B$ se réalise si l'évènement $A$ est réalisé) est : $ \displaystyle P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Deux évènements $A$ et $B$ sont *{bold::indépendants} quand : $\displaystyle P(A\cap B) = P(A) \times P(B)$
Les principales règles de construction des arbres *{bold::pondérés} (ou arbres probabilistes) sont :
,, la somme des probabilités des évènements (disjoints) correspondant aux branches partant d’un même nœud est 1 ;
,, les probabilités présentes sur les 2e, 3e, etc. branches d’un chemin sont des probabilités conditionnelles.
Une maladie atteint $3\%$ d'une population. Un test de dépistage donne :
$\bullet$ chez les individus malades, $95\%$ des tests sont positfis.
$\bullet$ chez les individus non-malades, $99\%$ des tests sont négatifs.
On note :
$\bullet$ évènement $M$ : "être malade".
$\bullet$ évènement $T$ : "avoir un test positif".
Décrire $P(M)$, $P(\overline{M})$ puis les déterminer.
Décrire $P_M(T)$, $P_M(\overline{T})$, $P_{\overline{M}}(T)$, $P_{\overline{M}}(\overline{T})$ puis les déterminer.
Construire un arbre pondéré de probabilités. Décrire $P(T)$ et $P(\overline{T})$ puis les déterminer.
Les évènements $M$ et $T$ sont-ils indépendants ?
On considère deux évènements $A$ et $B$, on a : $ \displaystyle P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(B)$
La formule des probabilités totales permet de justifier une autre règle d’utilisation des arbres pondérés :
la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités associées aux chemins qui permettent de réaliser cet évènement.
Dans une urne opaque il y a des carrés et des triangles. Ces formes géométriques peuvent être bleues ou rouges. On choisit une forme géométrique au hasard. On note : vspace{5} $\bullet$ L'évènement $A$ : " on choisit un carré " vspace{5} $\bullet$ L'évènement $B$ : " on choisit une forme bleue " vspace{5} On sait de plus que $\displaystyle P(A) = \frac{2}{3}$, $\displaystyle P_{\overline{A}}(B) = \frac{1}{5}$ et $\displaystyle P_{A}(\overline{B}) = \frac{3}{4}$
Que signifie $\displaystyle P(A)$ ?
Que signifie $\displaystyle P_{\overline{A}}(B) $ ?
Que signifie $\displaystyle P_{A}(\overline{B}) $ ?
En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P(B)$ puis $P(\overline{B})$. Que signifie $P(B)$ ?
Construire un arbre pondéré.
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
Une entreprise fabrique des ordinateurs portables. Ils peuvent présenter deux défauts : ,, un défaut de clavier ou ,, un défaut d’écran.
Sur un grand nombre d’ordinateurs, une étude statistique montre que : ,, $2\%$ présentent un défaut d’écran; ,, $2,4\%$ présentent un défaut de clavier; ,, $1,5\%$ présentent les deux défauts.
On choisit au hasard un ordinateur et on considère les événements suivants.
,, $E$ : « L’ordinateur présente un défaut d’écran »;
,, $C$ : « L’ordinateur présente un défaut de clavier ». Déterminer $P(E)$, $P(C)$ et $P(E \cap C)$.
On considère les événements suivants.
,, « L’ordinateur présente au moins un défaut »;
,, « L’ordinateur ne présente que le défaut d’écran ». Traduire ces 2 événements à l’aide de $E$ et $C$. Calculer leur probabilité.
Une urne contient 4 jetons :,, deux jaunes ; ,, un rose ; ,, un violet.
On tire au hasard un jeton de l’urne puis un second sans remettre le premier.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Représenter cette situation par un arbre. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
On considère les événements suivants : ,, $R$ : « Le premier jeton tiré est rose » et ,, $J$ : « Le deuxième jeton tiré est jaune »
Déterminer $P(R)$ et $P(J)$.
Traduire par une phrase $R \cap J$ puis calculer $P(R \cap J)$. Calculer $P(R \cup J)$.
On considère l'événement : ,, $N$ : « Aucun jeton tiré n'est jaune »
Calculer $P(N)$. Exprimer par une phrase $\overline{N}$ puis calculer $P(\overline{N})$.
Dans une urne il y a $5$ boules rouges et $3$ boules noires indiscernables au touché. On tire deux boules de cette urne avec remise c'est à dire qu'après le premier tirage on replace la boule dans l'urne.
Construire un arbre pondéré. Si on suppose que la première boule est noire, quelle est la probabilité d'obtenir une boule noire lors du deuxième tirage ?
Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
Dans un établissement scolaire de $500$ élèves il y a $320$ demi-pensionnaires et le reste d'externes. Parmi les externes, il y a $45\%$ de filles. Parmi les demi-pensionnaires il y a $99$ garçons. *{bold::On choisit un élève au hasard.}
On note : $\bullet$ L'évènement $E$ : " être externe " $\bullet$ L'évènement $F$ : " être une fille "
En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P(F)$ puis $P(\overline{F})$. Que signifie $P(F)$ ?
Construire un arbre de pondéré.
Les évènements $E$ et $F$ sont-ils indépendants ?
A la suite d'une campagne de vaccination lancée par l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) pour lutter contre une pandémie, on estime que, dans une population donnée, il ne reste plus que $1\%$ de personnes non vaccinées. D'après une étude, on estime également que $95\%$ des personnes vaccinées sont immunisées contre le virus de la pandémie et que $20\%$ des personnes non vaccinées sont naturellement immunisées contre ce virus.
On choisit au hasard une personne dans la population concernée. On note $A$ l'évènement : " la personne choisie est vaccinée " ; et $B$ l'évènement : " la personne choisie est immunisée contre le virus ".
Montrer que la probabilité que la personne choisie soit immunisée contre le virus est égale à $0,9425$.
Calculer la probabilité que la personne choisie ait été vaccinée sachant qu'elle est immunisée contre le virus. Arrondir au millième.
L'entreprise agroalimentaire Flavornuts fabrique des arômes naturels servant à l'amélioration des préparations culinaires pour la pâtisserie ou la cuisine. Elle les conditionne dans des flacons de $58$ ml qu'elle achète à l'entreprise Verremballage, qui conçoit, développe et commercialise des solutions d'emballages primaires composées de flacons standards. L'étiquetage des denrées alimentaires préemballées est obligatoire (articles R. 112-1 et suivants du code de la consommation). Certaines mentions sont imposées par la législation, d'autres sont facultatives. Toutes sont fournies par les fabricants, sous leur responsabilité. L'étiquetage est constitué par " les mentions, indications, marques de fabrique ou de commerce, images ou signes se rapportant à une denrée alimentaire et figurant sur tout emballage, document, écriteau, étiquette, bague ou collerette accompagnant ou se référant à cette denrée alimentaire (article R. 112-1 du code de la consommation). " Une fois fabriquées, les étiquettes peuvent présenter deux défauts : un défaut du visuel (graphisme, photo, couleur, $\ldots$) ou l'absence de la date limite de consommation. vspace{10} On considère les évènements suivants :
$\bullet$ $A$ : " la date limite de consommation n'apparaît pas sur l'étiquette ".
$\bullet$ $D$ : " l'étiquette comporte un défaut du visuel " ; vspace{10} On suppose que les évènements $A$ et $D$ sont indépendants. On admet que les probabilités des évènements sont : $P(A) = 0,01$ et $P(D) = 0,03$.
Calculer la probabilité qu'une étiquette prélevée au hasard dans la production présente les deux défauts.
Calculer la probabilité qu'une étiquette prélevée au hasard dans la production ne présente aucun de ces deux défauts.