Le *{bold::produit scalaire} de deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$, noté $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$, dans l'espace est leur produit scalaire dans un plan les contenant.
Deux droites sont *{bold::orthogonales} si et seulement si leurs vecteurs directeurs respectifs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont orthogonaux c'est à dire $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = 0$
Un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace est *{bold::orthonormé} quand les vecteurs $\vecteur{i}$, $\vecteur{j}$ et $\vecteur{k}$ sont orthogonaux deux à deux et si $||\vecteur{i}|| = ||\vecteur{j}|| = ||\vecteur{k}|| = 1$
Dans l'espace muni d'un repère *{bold::orthonormé}, on considère deux vecteurs $\cvecteurz{u}{x}{y}{z}$ et $\cvecteurz{v}{x'}{y'}{z'}$ alors : $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = xx' + yy' + zz'$ et $\sqrt{\vecteur{u} \cdot \vecteur{u}} = ||\vecteur{u} || = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
Dans repère orthonormé, soient deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de réprésentations paramétriques $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1+t \\ y & = & 2 + 2t \\ z & = & -5 -7t \\ \end{array} \right.$ et $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 5-t \\ y & = & -1 + 4t \\ z & = & t \\ \end{array} \right.$. Démontrer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont orthogonales.
Soit $ABCDEFGH$ un cube de côté $1$ et $I$ le centre de la face $EFGH$. On se place dans le repère orthonormé $(A;\vecteur{AB};\vecteur{AD};\vecteur{AE})$. Déterminer au degré près la mesure de $\alpha = \widehat{IBF}$ et $\beta = \widehat{BID}$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace on considère les points $A(1 ; −2 ; 3)$, $B(−1 ; 0 ; 1)$ et $C(2;1;0)$.
Calculer, au dixième de degré près, une mesure des angles :
*{bold::a) } $\widehat{ABC}$ hspace{40} *{bold::b) } $\widehat{BAC}$ hspace{40} *{bold::c) } $\widehat{ACB}$
Soit $ABCDEFGH$ d'arête $1$. Soit $I$ le centre de la face $EFGH$ et $J$ celui de la face $ABFE$. En se plaçant dans un repère bien choisi, calculer, au degré près, la mesure de $\widehat{IJD}$.
Soient $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ trois vecteurs et $\lambda$ un réel, alors :
,, $\vecteur{u}\cdot (\vecteur{v}+\vecteur{w}) = \vecteur{u} \cdot \vecteur{v} + \vecteur{u}\cdot \vecteur{w}$ & ,, $\vecteur{u}\cdot (\lambda \vecteur{v}) = \lambda (\vecteur{u} \cdot \vecteur{v})$ || ,, $(\vecteur{u}+\vecteur{v})^2 = \vecteur{u}^2 + 2 \vecteur{u}\cdot \vecteur{v} + \vecteur{v}^2$ & ,, $(\vecteur{u}-\vecteur{v})^2 = \vecteur{u}^2 - 2 \vecteur{u}\cdot \vecteur{v} + \vecteur{v}^2$ || ,, $(\vecteur{u}+\vecteur{v})(\vecteur{u}-\vecteur{v}) = \vecteur{u}^2 - \vecteur{v}^2$
On se place dans le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$. Démontrer que $\vecteur{IB}\cdot \vecteur{ID} = \dfrac{1}{2}$
Un vecteur $\vecteur{n}$ est *{bold::normal} à un plan $(\mathcal{P})$ s'il est non nul et orthogonal à *{bold::tous} les vecteurs contenus dans $(\mathcal{P})$.
Si $\vecteur{n}$ est un vecteur normal à une plan $(\mathcal{P})$ alors tout vecteur non nul colinéaire à $\vecteur{n}$ est aussi un vecteur normal à $(\mathcal{P})$.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si un des ses vecteurs directeurs est un vecteur normal du plan.
Si un vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan alors alors c'est un vecteur normal à ce plan.
Soit le cube $ABCDEFGH$ de côté $1$. Démontrer que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ACH)$.
On considère un cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[BC]$ et $[EH]$ et $K$ le centre de la face $CDHG$. Répondre aux questions suivantes sans utiliser de repère.
Démontrer que les points $A$, $I$, $G$ et $J$ sont coplanaires.
Démontrer que $(FK)$ est orthogonale à $(IJ)$.
Démontrer que $(FK)$ est orthogonale à $(AI)$.
En déduire que $(FK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
,, Deux plans sont parallèles si et seulement si tout vecteur normal de l’un est un vecteur normal de l’autre.
,, Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l’un est orthogonal à un vecteur normal de l’autre.
Soit $\vecteur{n}$ un vecteur non nul, $A$ un point et $(\mathcal{P})$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vecteur{n}$. Un point $M$ appartient à $(\mathcal{P})$ si et seulement si $\vecteur{n}\cdot\vecteur{AM} = 0$
Soient $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\cvecteurz{n_1}{6}{4}{-2}$ et $\cvecteurz{n_2}{-3}{-2}{1}$. Que dire de ces deux plans ?
Soient $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\cvecteurz{n_1}{1}{1}{-2}$ et $\cvecteurz{n_2}{3}{1}{1}$. Que dire de ces deux plans ?
Soient $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\cvecteurz{n_1}{0}{3}{4}$ et $\cvecteurz{n_2}{-1}{-2}{2}$. Que dire de ces deux plans ?
On se place dans un repère orthormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l'espace. Soit un plan $(\mathcal{P})$ dont un vecteur normal est $\cvecteurz{n}{a}{b}{c}$. Une *{bold::équation cartésienne} du plan $(\mathcal{P})$ est de la forme : $ax + by +cz +d = 0$ avec $d\in \R$
Déterminer une équation cartésienne de plan $(\mathcal{P}_1)$ passant par $A(1;2;-3)$ et de vecteur normal$\cvecteurz{n_1}{4}{-2}{1}$
On considère les poinst $A(0;1;1)$, $B(-4;2;3)$ et $C(4;-1;1)$. Déterminer, s'il existe, une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ défini par ces trois points.
Soient $(d)$ une droite de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et $(\mathcal{P})$ un plan de vecteur normal $\vecteur{n}$.
,, si $\vecteur{u} \cdot \vecteur{n} = 0$ alors $(d)$ est parallèle à $(\mathcal{P})$ (strictement ou non)
,, si $\vecteur{u} \cdot \vecteur{n} \not= 0$ alors $(d)$ et $(\mathcal{P})$ se coupent en un point $M$. Pour déterminer les coordonnées de $M$ il faut résoudre le système composé des équations décrivant $(d)$ et $(\mathcal{P})$.
On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - t \\ y & = & 2t \\ z & = & 5 \\ \end{array} \right.$ et le plan $(\mathcal{P})$ d'équation cartésienne $3x+z+7 = 0$. Déterminer, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(\mathcal{P})$.
On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - t \\ y & = & 2-2t \\ z & = & 3+5t \\ \end{array} \right.$ et le plan $(\mathcal{P})$ d'équation cartésienne $-6x-2y-2z+1=0 $. Déterminer, s'il existe, les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(\mathcal{P})$.
Soient $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vecteur{n_1}$ et $\vecteur{n_2}$.
,, si $\vecteur{n_1}$ et $\vecteur{n_2}$ sont colinéaires alors $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ sont parallèles (strictement ou non)
,, si $\vecteur{n_1}$ et $\vecteur{n_2}$ ne sont pas colinéaires il faut écrire le sytème d'équations cartésiennes décrivant $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ en prenant une des coordonnées ($x$, $y$ ou $z$) comme paramètre. La solution de ce système, si elle existe, est la représentation paramétrique d'une droite (en appelant le paramètre $t$).
On considère deux plans $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ d'équations cartésiennes respectives $x+2y+z-1=0$ et $2x-3y-z+2=0$. Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection entre $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$.
On considère deux plans $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$ d'équations cartésiennes respectives $2x-4y+3z-5=0$ et $-4x+8y-6z+10=0$. Déterminer, si elle existe, une représentation paramétrique de la droite d'intersection entre $(\mathcal{P}_1)$ et $(\mathcal{P}_2)$.
Soit $ABCDEFGH$ un cube d’arête $1$. On note $I$ le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[DH]$ et $K$ celui de $[HG]$. On se place dans le repère orthonormé $(A;\vecteur{AB},\vecteur{AD},\vecteur{AE})$. vspace{20}
Démontrer que le vecteur $\vecteur{CE}$ est un vecteur normal du plan $(IJK)$.
Démontrer que la droite $(BD)$ est parallèle au plan $(IJK)$.
Soit $M$ un point de la droite $(CE)$. Quelle est la position du point $M$ sur la droite $(CE)$ pour laquelle le plan $(BDM)$ est parallèle au plan $(IJK)$ ?
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère :
,, les points $A(0;1;−1)$ et $B(−2;2;−1)$ ;
,, la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & -2+t \\ y & = & 1+t \\ z & = & -1-t \\ \end{array} \right. $
On note $M$ un point appartenant à $(d)$, de coordonnées $(−2 + u ; 1 + u ; −1 − u)$, où u est un réel. vspace{20}
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas parallèles.
Démontrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas sécantes.
Vérifier que le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $x+y-z-3u=0$ est orthogonal à la droite $(d)$ et passe par le point $M$.
Montrer que le plan $(\mathcal{P})$ et la droite $(AB)$ sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(−4+6u;3−3u;−1)$.
Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$.
Existe-t-il une valeur du réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ ?
Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
En déduire la valeur de $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale et donner cette valeur minimale.
Soit $ABCDEFGH$ un cube d’arête $1$. On note $I$ le milieu de $[AB]$, $J$ celui de $[EH]$, $K$ celui de $[CB]$ et $L$ celui de $[CG]$. On se place dans le repère orthonormé $(A;\vecteur{AB},\vecteur{AD},\vecteur{AE})$. vspace{20}
Démontrer que la droite ($FD)$ est orthogonale au plan $(IJK)$.
En déduire une équation cartésienne de $(IJK$).
Déterminer une équation paramétrique de $(FD)$.
Déterminer les coordonnées du point $M$ d’intersection de $(FD)$ et $(IJK)$.
Calculer l’aire du triangle $IJK$.
En déduire le volume du tétraèdre $FIJK$.
Les droites $(IJ)$ et $(KL)$ sont-elles sécantes ? Si oui, en quel point ?