,, Par trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés de l'espace, il passe un unique plan $\mathcal{P}$ que l'on peut noter $(ABC)$
,, Si deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace appartiennent à un plan $\mathcal{P}$ alors la droite $(AB)$ est contenue dans le plan $\mathcal{P}$.
,, Par deux points de l'espace, il existe une unique droite.
On considère un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$
Donner deux plans parallèles, deux plans sécants.
Donner deux droites sécantes, parallèles, non-coplanaires.
vspace{15} On considère une pyramide $SEFGH$ de sommet $S$.
Donner deux plans sécants.
Donner une droite et un plan sécants.
Donner l'intersection de $(EFG)$ et $(EFS)$
,, Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. vspace{5} ,, Si deux plans sont parallèles à un même plan alors ils sont parallèles entre eux. vspace{5} ,, Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. vspace{5} ,, Si un plan $\mathcal{P}$ contient deux droites sécantes respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $\mathcal{P}'$ alors les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont parallèles. vspace{5} ,, Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles entre elles.
On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $M$ le milieu du segment $[EH]$ et $N$ celui de $[FC]$. Tracer la section de ce cube par le plan $(MNG)$.
$ABCDEFGH$ est un cube et $I$ et $J$ les points tels que $I \in [HD]$ et $HI = \dfrac{2}{3}HD$ ; $J \in [FG]$ et $FJ = \dfrac{3}{4}FG$. Construire la section du cube par le plan $(EIJ)$.
$ABCDEFGH$ est un cube et $I$ ; $J$ et $K$ les points tels que $I \in [EF]$ et $EI = \dfrac{1}{3}EF$ ; $J\in [BC]$ et $BJ = \dfrac{1}{2}BC$ ; $ K \in [HG]$ et $HK = \dfrac{3}{4} HG$. Construire la section du cube par le plan $(IJK)$.
$ABCDEFGH$ est un cube et $I$ ; $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[CD]$ et $[EH]$. Construire la section du cube par le plan $(IJK)$.
Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un même point sont perpendiculaires dans le plan qu’elles définissent.
Une droite est orthogonale à un plan lorsqu’elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan alors elle est orthogonale à ce plan.
Dans le cube $ABCDEFGH$ démontrer que $(GC) \perp (BD)$.
$ABCDEFGH$ est un cube, démontrer que la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $(BCG)$. En déduire que les droites $(AB)$ et $(CF)$ sont orthogonales.
vspace{20} $ABCD$ est un tétraèdre régulier, $S$ est le pied de la hauteur issue de $A$ relativement à la base $BCD$ et $I$ est le milieu de $[BC]$.
Démontrer que les droites $(AS)$ et $(BC)$ sont orthogonales.
En déduire que la droite $(BC)$ est orthogonale au plan $(AIS)$.
En déduire que les points $A$, $I$, $S$ et $D$ sont coplanaires et que les points $I$, $S$ et $D$ sont alignés.
On étend la notion de *{bold::vecteur} dans le plan à celle de *{bold::vecteur} dans l'espace. A savoir que le vecteur $\vecteur{u}$ de l'espace possède une direction (droite support), un sens et une norme qe l'on note $||\vecteur{u}||$
Les propriétés sur les vecteurs du plan s'étendent aux vecteurs de l'espace :
,, $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires quand il existe un réel $k$ tel que $\vecteur{u} = k\vecteur{v}$
,, Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés quand $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AC}$ sont colinéaires.
,, Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles quand $\vecteur{AB}$ et $\vecteur{CD}$ sont colinéaires.
,, Relation de Chasles : $\vecteur{AB} + \vecteur{BC} = \vecteur{AC}$
On considère un tétraèdre $ABCD$. Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ :
Construire les points $E$ et $F$ tels que : $\vecteur{AB} = \vecteur{ED}$ et $\vecteur{CF} = \vecteur{BC}$
Exprimer $\vecteur{AI}$ en fonction de $\vecteur{CA}$ et $\vecteur{CD}$
Montrer que $\vecteur{EF} = \vecteur{AC} + \vecteur{CD}$
En déduire que les droites $(CI)$ et $(EF)$ sont parallèles.
Soit $A$ un point de l'espace et $\vecteur{u}$ un vecteur de non nul. L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vecteur{AM} = x\vecteur{u}$, $x \in \R$ est la droite $(AB)$, où $\vecteur{AB} = \vecteur{u}$ est un vecteur *{bold::directeur} de la droite $(AB)$.
Soit $A$ un point de l'espace, $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace. L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\vecteur{AM} = x\vecteur{u} + y\vecteur{v}$, $x \in \R$ et $y \in \R$ est le plan $(ABC)$, où $\vecteur{AB} = \vecteur{u}$ et $\vecteur{AC} = \vecteur{v}$. $(\vecteur{u},\vecteur{v})$ est le *{bold::couple de vecteurs directeurs} du plan $(ABC)$.
,, Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
,, Deux plans ayant le même couple de vec teurs directeurs sont parallèles.
,, Une droite $\mathcal{D}$ et un plan $\mathcal{P}$ sont parallèles quand un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est un vecteur du plan $\mathcal{P}$.
$SABCD$ est une pyramide de base carrée $ABCD$ de centre $O$. Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[SA]$, $[SB]$ et $[BD]$.
Identifier les ensembles suivants :
$\mathcal{E}_1$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vecteur{AM} = t\vecteur{IJ}$, $t \in \R$
$\mathcal{E}_2$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vecteur{JM} = u\vecteur{SD}$, $u \in \R^+$
$\mathcal{E}_3$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vecteur{BM} = k\vecteur{SA}$, $u \in \R^-$
$\mathcal{E}_4$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\vecteur{0M} = x\vecteur{SB} + y\vecteur{SC}$, $x \in \R$ et $y \in \R$
Soit un plan $\mathcal{P}$ dont $(\vecteur{u},\vecteur{v})$ est un couple de vecteurs directeurs. Les trois vecteurs de l'espace $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ sont *{bold::coplanaires} quand $\vecteur{w}$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Les trois vecteurs de l'espace $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ sont *{bold::coplanaires} quand il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\vecteur{w} = x\vecteur{u} + y\vecteur{v}$.
$SABC$ est un tétraèdre. Les points $I$, $J$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AD]$, $[AB]$ et $[BD]$.
Indiquer si les vecteurs sont coplanaires :
$\vecteur{AB}$ , $\vecteur{BD}$ et $\vecteur{JK}$
&
$\vecteur{AK}$ , $\vecteur{AC}$ et $\vecteur{BC}$
&
$\vecteur{BC}$ , $\vecteur{IJ}$ et $\vecteur{CK}$
&
$\vecteur{CI}$ , $\vecteur{CJ}$ et $\vecteur{BD}$
Soient trois vecteurs de l'espace $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ *{bold::non coplanaires}. Pour tout vecteur de l'espace $\vecteur{t}$ il existe trois réels uniques $x$, $y$ et $z$ tels que $\vecteur{t} = x\vecteur{u} + y\vecteur{v} + z\vecteur{w}$.
$ABCD$ est un tétraèdre. Les points $I$ et $K$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$. Les points $J$ et $L$ sont définis par : $\vecteur{BJ} = \dfrac{1}{4}\vecteur{BC}$ et $\vecteur{AL} = \dfrac{1}{4}\vecteur{AD}$
Les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont-ils coplanaires ?
Préciser la section du tétraèdre par le plan $(IJK)$
Soit $O$ un plan de l'espace et trois vecteurs de l'espace $\vecteur{i}$, $\vecteur{j}$ et $\vecteur{k}$ *{bold::non coplanaires}. Pour tout point $M$ de l'espace il existe un unique triplet $(x;y;z)$ tel que $\vecteur{OM} = x\vecteur{i} + y\vecteur{j} + z\vecteur{k}$.
$(x;y;z)$ sont les coordonnées de $M$ dans le repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ avec :
,, $x$ est l'*{bold::abscisse} de $M$ dans le repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$
,, $y$ est l'*{bold::ordonnée} de $M$ dans le repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$
,, $z$ est la *{bold::cote} de $M$ dans le repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ vspace{5}
Soient deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ alors $\cvecteurz{AB}{x_B-x_A}{y_B-y_A}{z_B-z_A}$
$ABCD$ est un tétraèdre.
Donner les coordonnées de $\vecteur{AC}$ dans le repère $(A,\vecteur{AB},\vecteur{AC},\vecteur{AD})$
Donner les coordonnées de $\vecteur{AC}$ dans le repère $(B,\vecteur{BC},\vecteur{BA},\vecteur{BD})$
Soient deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$. Le point $I$ milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées : $I\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2} \Big)$
Soient trois points $A(x_A;y_A;z_A)$, $B(x_B;y_B;z_B)$ et $C(x_C;y_C;z_C)$ dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$. Le point $G$ centre de gravité du triangle $ABC$ a pour coordonnées : $G\Big(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3} ; \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3} ; \dfrac{z_A+z_B+z_C}{3} \Big)$
Soient deux points $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ *{bold::orthonormé}. La distance entre les points $A$ et $B$ vaut : $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 +(y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2 } = ||\vecteur{AB}||$
Soient $\cvecteurz{u}{x}{y}{z}$ et $\cvecteurz{v}{x'}{y'}{z'}$ deux vecteurs de l'espace. On considère le vecteur $\vecteur{w} = \alpha \vecteur{u} + \beta \vecteur{v}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels. Le vecteur $\vecteur{w}$ a pour coordonnées $\cvecteurz{w}{\alpha x + \beta x'}{\alpha y + \beta y'}{\alpha z + \beta z'}$
Dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace, démontrer que les points $A(1;2;0)$, $B(−1;1;1)$, $C(1 ; 4 ; 1)$ et $D(3 ; −1 ; −3)$ sont coplanaires.
Dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace, on considère les points $A(0;3;−1)$, $B(2;−2;0)$, $C(4;1;5)$ et $D(2;21;12)$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
Le point $D$ appartient-il à ce plan ?
Dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace, on considère la droite $(d)$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\cvecteurz{u}{\alpha}{\beta}{\gamma}$. Le point $M(x;y;z)$ appartient à la droite $(d)$ si et seulement si il existe un réel $t$ vérifiant le système : $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & x_A + t\alpha \\ y & = & y_A + t\beta \\ z & = & z_A + t\gamma \\ \end{array} \right. $
Ce système est une *{bold::représentation paramétrique} de la droite $(d)$.
Donner un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ de réprésentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - 4t \\ y & = & 3+t \\ z & = & 1-t \\ \end{array} \right. $
Donner trois points passants par cette droite.
Dans un repère $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vecteur{k})$ de l’espace, on considère le plan $\mathcal{P}$ passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteurs directeurs $\cvecteurz{u}{\alpha}{\beta}{\gamma}$ et $\cvecteurz{v}{\alpha'}{\beta'}{\gamma'}$. Le point $M(x;y;z)$ appartient au plan $\mathcal{P}$ si et seulement si il existe deux réel $t$ et $t'$ vérifiant le système : $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & x_A + t\alpha + t\alpha' \\ y & = & y_A + t\beta + t\beta' \\ z & = & z_A + t\gamma + t\gamma' \\ \end{array} \right. $
Ce système est une *{bold::représentation paramétrique} du plan $\mathcal{P}$.
Donner un couple de vecteurs directeurs du plan $\mathcal{P}$ de réprésentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1 - t +5t' \\ y & = & 1+t' \\ z & = & -5t + 3t' \\ \end{array} \right. $
Donner trois points passants par ce plan.
On considère le pavé droit $ABCDEFGH$, pour lequel $AB=6$, $AD=4$ et $AE=2$. $I$, $J$ et $K$ sont les points tels que : $\vecteur{AI} = \frac{1}{6}\vecteur{AB}$, $\vecteur{AJ} = \frac{1}{4} \vecteur{AD}$ et $\vecteur{AK} = \frac{1}{2} \vecteur{AE}$. vspace{10} On se place dans le repère orthonormé $(A;\vecteur{AI},\vecteur{AJ},\vecteur{AK})$. vspace{10}
Déterminer une représentation paramétrique du plan $(IJG)$.
Déterminer les coordonnées du point d’intersection $L$ du plan $(IJG)$ et de la droite $(BF)$.
Tracer $ABCDEFGH$ et tracer la section de ce pavé par le plan $(IJG)$. On ne demande pas de justification.
Dans un repère orthonormé $(O, I, J, K)$ d’unité $1\;cm$, on considère les points $A(0 ; −1 ; 5)$, $B(2 ; −1 ; 5)$, $C(11; 0; 1)$ et $D(11; 4; 4)$. vspace{10} Un point $M$ se déplace sur la droite $(AB)$ dans le sens de $A$ vers $B$ à la vitesse de $1\;cm$ par seconde.
Un point $N$ se déplace sur la droite $(CD)$ dans le sens de $C$ vers $D$ à la vitesse de $1\;cm$ par seconde. vspace{10} À l’instant $t = 0$ le point $M$ est en $A$ et le point $N$ est en $C$. On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif. On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t; −1; 5)$ et $N_t(11; 0,8t; 1+0,6t)$. vspace{10}
La droite $(AB)$ est parallèle à l’un des axes $(OI)$, $(OJ)$ ou $(OK)$. Lequel ?
La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l’un des plans $(OIJ)$, $(OIK)$ ou $(OJK)$. Lequel ? On donnera une représentation paramétrique de ce plan $\mathcal{P}$.
Vérifier que la droite $(AB)$, coupe le plan $\mathcal{P}$ au point $E(11 ; −1 ; 5)$.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?
Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 − 25,2t + 138$ .
À quel instant $t$ la longueur $M_t N_t$ est-elle minimale ?
Dans l’espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces $ABC$, $ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles isocèles en $A$. On désigne par $E$, $F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$. ON choisit $AB$ comme unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé $(A;\vecteur{AB},\vecteur{AC},\vecteur{AD})$ de l'espace. vspace{10}
Donner les coordonnées des points $D$ et $E$.
Donner une représentation paramétrique de la droite $(DF)$.
On désigne par $M$ un point de la droite $(DF)$ et par $t$ le réel tel que $\vecteur{DM} = t\vecteur{DF}$. On note $\alpha$ la mesure principale en radian de l'angle géométrique $\widehat{EMG}$. Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$ pour que la mesure de $\alpha$ soit maximale.
Démontrer que $ME^2 = \frac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \frac{5}{4}$
Démontrer que le triangle $MEG$ est isocèle en $M$. En déduire que $ME\sin{(\frac{\alpha}{2})} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin{(\frac{\alpha}{2})}$ est maximal. En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $ME^2$ est minimal.
Conclure.
our chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et proposer une démonstration de la réponse indiquée. vspace{10}
Soit $S$ le point de coordonnées $(1; 3; 5)$ et $\Delta_1$ la droite de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 1+t \\ y & = & 5-4t \\ z & = & 2-2t \\ \end{array} \right.$
*{bold::Affirmation 1} : la droite $\Delta_2$ de représention paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & -t \\ y & = & 7+4t \\ z & = & 7+2t \\ \end{array} \right.$ est la droite parallèle à la droite $\Delta_1$ passant par le point $S$.
On considère les points $I(1; 0; 0)$, $J(0; 1; 0)$ et $K(0; 0; 1)$.
*{bold::Affirmation 2} : la droite $\Delta$ de représention paramétrique $\left\{\begin{array}{lcl} x & = & 2-t \\ y & = & 6-2t \\ z & = & -2+t \\ \end{array} \right.$ coupe le plan $(IJK)$ au point $E\Big(-\dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \Big)$
Dans le cube $ABCDEFGH$, le point $T$ est le milieu du segment $[HF]$.
*{bold::Affirmation 3} : les droites $(AT)$ et $(EC)$ sont orthogonales.
Soit $ABCDEFGH$ un cube; $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[EG]$ et $[GH]$. On munit l'espace du repère $(A;\vecteur{AB},\vecteur{AD},\vecteur{AE})$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AI)$ puis de la droite $(DJ)$.
Démontrer que les droites $(AI)$ et $(DJ)$ sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.