Le nombre $i$ est un nombre *{bold::imaginaire} qui vérifie : $\displaystyle i^2 = -1 $
Un *{bold::nombre complexe} $z$ est un nombre pouvant s'écrire : $\displaystyle z = a + i\times b = a +ib$. où $a$ et $b$ sont deux réels. Il s'agit de *{bold::l'écriture algébrique de $z$}.
L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$
Soit $z = a+ib$ un nombre complexe.
,, Le réel $a$ est appelé la *{bold::partie réelle} de $z$ et on note $Re(z) = a$
,, Le réel $b$ est appelé la *{bold::partie imaginaire} de $z$ et on note $Im(z) = a$
Soit $z = a+ib$ un nombre complexe. Le nombre complexe *{bold::conjugué} de $z$, noté $\bar{z}$, est : $\displaystyle \bar{z} = a - i\times b = a - ib$
Donner les parties réelle et imaginaire des nombres complexes suivants :
$z_1 = 7i$
&
$z_2 = -9$
&
$z_3 = 8 - 7i$
&
$z_4 = 3i + 8$
vspace{5} Donner le conjugué des nombres complexes suivants :
$z_5 = -6i$
&
$z_6 = 8$
&
$z_7 = 10 - 2i$
&
$z_8 = 6i - 2$
Soit $z = a+ib$ un nombre complexe. Le *{bold::module} de $z$ est le réel, noté $||z||$ : $\displaystyle ||z|| = \sqrt{z \times \bar{z}} = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$
Donner le module des nombres complexes suivants :
$z_1 = 3+9i$
&
$z_2 = -7i$
&
$z_3 = i +5$
&
$z_4 = 3$
||
$z_5 = -1 + 4i$
&
$z_6 = 9 - i$
&
$z_7 = \frac{1}{3} - i\frac{1}{4}$
&
$z_8 = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$
Soient deux nombres complexes $z_1 = a_1+ib_1$ et $z_2 = a_2+ib_2$ non nul et $\alpha$ et $\beta$ deux réels :
,, $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i( b_1 + b_2) $ & ,, $\alpha z_1 = (\alpha a_1) + i(\alpha b_1) $ || ,, $\alpha z_1 + \beta z_2 = (\alpha a_1 + \beta a_2) + i(\alpha b_1 + \beta b_2) $ & ,, $\normez{\alpha z_1} = |\alpha |\times \normez{z_1} $ || ,, $z_1 \times z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1)$ & ,, $\displaystyle \frac{1}{z_1} = \frac{(a_1)}{a_1^2+b_1^2} + i\frac{-b_1}{a_1^2+b_2^1}$ || ,, $\displaystyle z_1 = z_2$ si et seulement si $a_1 = a_2$ et $b_1=b_2$ & ,, $\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1a_2 +b_1b_2)}{a_2^2+b_2^2} + i\frac{(a_1b_2 -b_2a_1)}{a_2^2+b_2^2}$
Soient $\displaystyle z_1 = 3 - 2i$ et $ z_2 = 6i - 3$. Calculer $z_1+z_2$, $z_1 z_2$, $ \frac{1}{z_2}$, $ \frac{1}{z_1}$, $\frac{z_1}{z_2}$
Soient $\displaystyle z_1 = -\frac{1}{3} - i$ et $ z_2 = \frac{i}{5} - 1$. Calculer $z_1+z_2$, $z_1 z_2$ et $ \frac{z_1}{z_2}$
Soient $\displaystyle z_1 = 5 - 2i$ et $ z_2 = \frac{i}{2} + 1$. Calculer $2z_1-4z_2$ et $|| -5(z_1+z_2)||$
Soient $\displaystyle z_1 = 2 + i$, $ z_2 = i - 3$ et $z_3 = x + iy$. Calculer $x$ et $y$ pour que $z_3 = -4z_1 + 2z_2$.
Soient $ z_1 = \frac{1}{2} + 3i$, $ z_2 = \frac{1}{3}i - 2$ et $z_3 = x + iy$. Calculer $x$ et $y$ pour que $z_3 = 2z_1 - z_2$.
Soient deux nombres complexes $z_1 = a_1+ib_1$ et $z_2 = a_2+ib_2$ non nul et $\alpha$ et $\beta$ deux réels :
,, $\overline{\overline{z_1}} = z_1 $ & ,, $\overline{z_1^n} = \overline{z_1}^n $ || ,, $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $ & ,, $\overline{z_1\times z_2} = \overline{z_1} \times \overline{z_2} $ || ,, $\overline{\Big( \frac{z_1}{ z_2} \Big)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} $ &
Soient $\displaystyle z_1 = 2 - i$ et $\displaystyle z_2 = i - 2$. Calculer $\overline{z_1+z_2}$, $\overline{z_1 z_2}$ et $\displaystyle \overline{\frac{z_1}{z_2}}$
Soient $\displaystyle z_1 = -\frac{1}{2} - i$ et $\displaystyle z_2 = \frac{i}{2} - 1$. Calculer $\overline{z_1+z_2}$, $\overline{z_1 z_2}$ et $\displaystyle \overline{\frac{z_1}{z_2}}$
Soient $\displaystyle z_1 = - 2i$ et $\displaystyle z_2 = 1$. Calculer $\overline{2z_1-4z_2}$ et $||\overline{ -5(z_1+z_2)}||$
Soit $z = a+ib$ un nombre complexe. Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, on peut placer un point $M(a;b)$. On dit que $z$ est l'*{bold::affixe} du point $M$ et on note $M(z)$.
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$.
Soient $z_A = i + 1$ et $z_B = -3i + 2$. Placer $A(z_A)$ et $B(z_B)$. Placer les points $C$ et $D$ pour que $ABCD$ soit un carré. Donner les affixes de $C$ et $D$.
Soient $z_E= -2i $ et $z_F = 3$. Placer $E(z_E)$ et $F(z_F)$. Placer les points $G$ et $H$ pour que $EFGH$ soit un losange de centre $O$. Donner les affixes de $G$ et $H$.
Soient $z_A= -2i + 1 $, $z_B = 2 + 3i $ et $z_C = 3i$. Placer $A(z_A)$, $B(z_B$ et $C(z_C)$. Placer le point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme. Donner l'affixe de $D$.
,, Soit $z = a+ib$ un nombre complexe. Dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, on peut placer un vecteur $\cvecteur{u}{a}{b}$. On dit que $z$ est l'*{bold::affixe} du vecteur $\vecteur{u}$ et on note $\vecteur{u}(z)$.
,, Soit $M_1$ et $M_2$ deux points du plan muni du repère orthonormé $(O;I;J)$ tels que $M_1(z_1=a_1+ib_1)$ et $M_2(z_2=a_2+ib_2)$. Le vecteur $\vecteur{M_1M_2}$ a pour affixe le nombre complexe $z_3$ tel que $z_3 = z_2-z_1$ et : $\displaystyle z_3 = (a_2-a_1) + i(b_2-b_1)$
Soient $z = a+ib$ un nombre complexe et $\vecteur{u}{z}$ dans un repère orthonormé $(O;I;J)$. On a : $\displaystyle ||\vecteur{u}|| = ||z|| = \sqrt{z\bar{z}}$
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$.
Soient $z_A = i + 2$ et $z_B = -2i + 2$. Donner l'affixe de $\vecteur{AB}$ puis calculer $||\vecteur{AB}||$
Soient $z_E = 5-3$ et $z_F = -3 + 2i$. Donner l'affixe de $\vecteur{EF}$ puis calculer $||\vecteur{EF}||$
Soient $\displaystyle z_A = \frac{1}{3}-2i$ et $\displaystyle z_B = -\frac{1}{6} + \frac{1}{5}i$. Donner l'affixe de $\vecteur{AB}$ puis calculer $||\vecteur{AB}||$
On se place dans un repère orthonormé $(0;I;J)$ du plan orienté. Soit un point $M$ appartenant au cercle trigonométrique tel que $(\vecteur{OI},\vecteur{OM}) = \theta + k\times 2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Soit $z$ l'affixe du point $M$ alors : $\displaystyle z = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ et $\displaystyle ||z|| = 1$ vspace{10} On note le nombre complexe $\displaystyle z = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ : $\displaystyle z = \cos{\theta} + i\sin{\theta} = e^{i\theta}$
Placer sur le cercle trigonométrique, les points d'affixe :
$z_A = e^{i\pi}$
&
$z_B= e^{i\frac{\pi}{4}}$
&
$z_C = e^{i\frac{\pi}{3}}$
&
$z_D = e^{-i\frac{\pi}{3}}$
||
$z_E = e^{-i\frac{\pi}{4}}$
&
$z_F = e^{i\frac{3\pi}{4}}$
&
$z_G = e^{i\frac{5\pi}{4}}$
&
$z_H = e^{-i\frac{\pi}{2}}$
On se place dans un repère orthonormé $(0;I;J)$ du plan orienté. Soient $z = a+ib$ un nombre complexe. $z$ peut s'écrire : $z = ||z|| e^{i\theta} = re^{i\theta}$ vspace{5} où $r$ est le *{bold::module} de $z$ et $\theta$ son *{bold::argument} (noté $\arg(z)$) (à $2\pi$ près)
Donner l'écriture algébrique des nombres suivants : $z_A = 3e^{i\frac{\pi}{3}}$ ; $z_B = 4e^{i\frac{-\pi}{4}}$ ; $z_C = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$ et $z_D = 5e^{i\pi}$
Donner l'écriture algébrique des nombres suivants : $z_A = 5e^{i\frac{4\pi}{3}}$ ; $z_B = 7e^{i\frac{3\pi}{4}}$ et $z_C = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}$
Donner l'écriture exponentielle des nombres suivants : $z_A = 2i$ ; $z_B = 5$ ; $z_C = -4$ et $z_D = -10i$
Donner l'écriture exponentielle des nombres suivants : $\displaystyle z_A = 3\frac{\sqrt{2}}{2} + 3\frac{\sqrt{2}}{2}i$ et $\displaystyle z_B = 5\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5}{2}i$
Donner l'écriture exponentielle des nombres suivants : $\displaystyle z_A = 1 + i$ et $\displaystyle z_B = -5 + 10\frac{\sqrt{3}}{2}i$
Donner l'écriture exponentielle des nombres suivants : $\displaystyle z_A = -2 -2i$ ; $\displaystyle z_B = 2\sqrt{3} + 2i$ et $\displaystyle z_C = -i-1$
Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes de module respectif $r$ et $r'$ et d'argument respectif $\theta$ et $\theta'$.
,, $re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta + \theta')}$ & ,, $\displaystyle \frac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \frac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')}$ || ,, $\displaystyle \frac{1}{re^{i\theta}} = \frac{1}{r}e^{-i\theta}$ & ,, $\displaystyle \overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}$
Calculer :
$5e^{i\frac{\pi}{6}}\times 2e^{i\frac{\pi}{3}}$
&
$\displaystyle \frac{2e^{-i\frac{\pi}{2}}}{2e^{i\frac{\pi}{6}}}$
&
$\displaystyle \frac{8e^{-i\frac{4\pi}{3}}\times 0,5e^{-i\frac{\pi}{3}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}$
&
$\displaystyle \frac{2e^{-i\frac{\pi}{6}}}{6e^{i\frac{\pi}{3}}\times 5e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
||
$\displaystyle \frac{8e^{i\frac{4\pi}{3}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}}$
&
$2e^{-i\frac{\pi}{2}}\times 2e^{i\pi}$
&
$\displaystyle \frac{(2e^{-i\frac{\pi}{2}})^2}{(2e^{i\pi})^2}$
&
$2e^{-i\frac{\pi}{4}} + 5e^{-i\frac{\pi}{4}}$
,, $z \times \overline{z} = |z|^2$ & ,, $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \; [2\pi]$ || ,, $|-z| = |z|$ & ,, $\arg(\overline{z}) = -\arg(z) \; [2\pi]$ || ,, $|z| = |\overline{z}|$ & ,, $\arg(z \times z' ) = \arg(z) + \arg(z') \; [2\pi]$ || ,, $|z \times z'| = |z| \times |z'|$ & ,, $\arg(z^n ) = n\arg(z) \; [2\pi]$ || ,, $|z^2| = |z|^n$ & ,, $\arg(\frac{1}{z}) = -\arg(z) \; [2\pi]$ || ,, $|\frac{1}{z}| = \frac{1}{|z|}$ & ,, $\arg(\frac{z}{z'}) = \arg(z)-\arg(z') \; [2\pi]$ || ,, $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ &
$z_1 = -\sqrt{3}+i$ et $z_2 = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6}i$ deux nombres complexes. Déterminer le module et un argument de $z_1z_2$
Déterminer la forme algébrique de $(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^{2016}$
On considère les nombres complexes $z= \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $z' = 1-i$
Déterminer le module et un argument de $z$, $z′$ et $\frac{z}{z'}$
Déterminer la forme algébrique de $\frac{z}{z'}$
En déduire que $\cos{(\frac{\pi}{12})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin{(\frac{\pi}{12})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
,, Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$. $AB = |\vecteur{AB}| = |z_B -z_A|$ et $\arg(z_B - z_A) = (\vecteur{u},\vecteur{AB}) \; [2\pi]$ vspace{10} ,, Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$ et $z_D$. $\arg\Big( \dfrac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \Big) = (\vecteur{AB},\vecteur{CD}) \; [2\pi]$
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant la condition : $|z+1-i| = 3$
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant la condition : $|z+3| = |z+2+3i|$
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant la condition : $\arg(z-1-i) = \frac{\pi}{4}\;[2\pi]$
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant la condition : $\arg\Big( \frac{z-1+2i}{z+1}\Big) = \frac{\pi}{2}\;[2\pi]$
$A$, $B$ et $C$ trois points distincts d'affixes respectives $z_A = 2i$, $z_B = 2+i$ et $z_C = 1-i$. Démontrer que le triangle $ABC$ est isocèle-rectangle en $B$.
Dans chacun des cas suivants, vérifier si le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Dans le cas où il est rectangle vérifier s'il est isocèle :
$A(3+2i)$, $B(0)$ et $C(-1+\frac{3}{2}i)$.
$A(2−i)$, $B(1−4i)$ et $C(−2−3i)$.
$A(−4)$, $B(−2 + 3i)$ et $C(4 − i)$
On considère l'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ dont le discriminant vaut $\Delta = b^2 - 4ac$ :
,, si $\Delta > 0$ L'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::$2$ racines} $z_1$ et $z_2$ réelles avec $\displaystyle z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
,, si $\Delta = 0$ L'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{tdu::$1$ seule racine} $z_0$ réelle avec $\displaystyle z_0 = \frac{-b}{2a}$
,, si $\Delta < 0$ L'équation $ax^2 + bx+ c = 0$ possède *{bold::$2$ racines} $z_1$ et $z_2$ complexes avec $\displaystyle z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\displaystyle z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$
Résoudre les équations suivantes :
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
&
$8 + 2x -3x^2 = 0$
&
$9x^2 -24x + 16 = 0$
||
$(7x+3)(7x-3)= 0$
&
$7x^2 - 7x +1= 0$
&
$\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x -1 = 0 $
||
$\displaystyle -\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{5} $
&
$\displaystyle 2x^2 - \sqrt{5}x + 6 = 0 $
&
$\displaystyle x^2 - 2\sqrt{7}x= -1 $
||
$\displaystyle x^2 + 6= -3\sqrt{2}x $
&
$\displaystyle \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}= -\sqrt{10}x $
&
$x^2 - x = -9 $
||
$2x^2 +2x + 1 = 0$
&
$7 + 3x -7x^2 = 0$
&
$x^2 -10x + 2 = 0$
||
$(8x+3)(8x-3)= 0$
&
$x^2 - 9x +3= 0$
&
$x^2 - 2x = -1 $
||
$\displaystyle \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{3}x -8 = 0 $
&
$\displaystyle -\frac{2}{5}x^2 - \frac{1}{8}x = \frac{1}{2} $
&
$\displaystyle x^2 - \sqrt{3}x + 2 = 0 $
||
$\displaystyle x^2 - 2\sqrt{5}x= -2 $
&
$\displaystyle 2x^2 + 5= -8\sqrt{2}x $
&
$\displaystyle \frac{1}{7}x^2 + \frac{1}{14}= -2\sqrt{10}x $
On considère l'équation du second degré suivante : $ ax^2 +bx + c = 0$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels
tels que : $ ac > \Big(\frac{b}{2}\Big)^2$
Déterminer les racines $z_1$ et $z_2$ de cette équation.
Calculer $\overline{z_1}$ et $\overline{z_2}$
Calculer $z_1 z_2$
Calculer $||z_1||$ et $||z_2||$
Calculer $z_1 + z_2$
On considère l'équation du second degré suivante : $ x^2 +x + 1 = 0$
Déterminer les racines $z_1$ et $z_2$ de cette équation.
Calculer $z_1 z_2$
Calculer $||z_1||$ et $||z_2||$
Calculer $z_1 + z_2$
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vecteur{u},\vecteur{v})$. On note $\mathbb{C}$ l’ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
*{bold::Proposition} : Pour tout entier naturel $n$ on a $(1+i)^{4n} =(−4)^n$.
Soit $(E)$ l’équation $(z − 4)(z^2 − 4z + 8) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
*{bold::Proposition} : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de $(E)$ sont les sommets d’un triangle d’aire $8$.
*{bold::Proposition} : Pour tout nombre réel $\alpha$ on a $1 + \e^{2i\alpha} =2\e^{i\alpha}\cos{(\alpha)}$
Soit $A$ le point d’affixe $z_A=\frac{1}{2}(1+i)$ et $M_n$ le point d’affixe $(z_A)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
*{bold::Proposition} : si $n − 1$ est divisible par $4$, alors les points $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés.
Soit $j$ le nombre complexe de module $1$ et d’argument \frac{2\pi}{3}.
*{bold::Proposition} : $1+j+j^2 = 0$
Soient $A$, $B$, $C$ trois points d’affixes $a$, $b$, $c$ distinctes deux à deux.
*{bold::Proposition} : Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ si et seulement si $\Big| \dfrac{b-a}{c-a}\Big| = 1$.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O;\vecteur{u},\vecteur{v})$. À tout point $M$ d’affixe $z$ du plan, on associe le point $M′$ d’affixe $z′$ définie par : $z' = z^2+4z+3$
Un point $M$ est dit invariant lorsqu’il est confondu avec le point $M′$ associé. Démontrer qu’il existe deux points invariants. Donner l’affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Soit $A$ le point d'affixe $\frac{-3-i\sqrt{3}}{2}$ et le point $B$ d'affixe $\frac{-3+i\sqrt{3}}{2}$. Montrer que $AOB$ est un triangle équilatéral.
Déterminer l’ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d’affixe $z=x+iy$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M′$ associé soit sur l’axe des réels.
Dans le plan complexe, représenter les points $A$ et $B$ ainsi que l’ensemble $\mathcal{E}$ .
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vecteur{u},\vecteur{v})$. On donne le nombre complexe $j=-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés du nombre $j$ et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.
Résoudre dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l’équation : $z^2 + z + 1 = 0$.
Vérifier que le nombre complexe $j$ est une solution de cette équation.
Déterminer le module et un argument du nombre complexe $j$, puis donner sa forme exponentielle.
Démontrer les égalités suivantes : $j^3=1$ et $j^2 = -1 -j$
On note $P$, $Q$, $R$ les images respectives des nombres complexes $1$, $j$ et $j^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle $PQR$ ? Justifier la réponse.