Une fonction $f$ est *{bold::continue} sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ quand sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est en un seul morceau sur $I$ c'est à dire que sa représentation graphique ne possède pas de "cassure" sur $I$ ou encore on peut la tracer sans lever le crayon.
Une fonction $f$ est *{bold::positive} sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ quand pour tout réel $x \in I$, $f(x) \geqslant 0$.
Donner cinq fonctions continues et positives sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leqslant b$ et $f$ une fonction *{bold::continue et positive} sur l'intervalle $I = [a;b]$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. L'*{bold::intégrale de $f$ sur $[a;b]$} est l'aire de la partie du plan délimitée par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses ($y=0$) et les droites verticales d'équation $x=a$ et $x=b$.
On note cette aire : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$ vspace{5} mark({Ox: '7cm',Oy: '5.5cm',dx: 1,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('sqrt(25-x^2)',-30,30,0.001) back('#000000') alpha(0.5) curveArea('sqrt(25-x^2)',-3,2,0.001) arrow('<-') width(2) line(-3,-0.2,-3,-1.2) line(2,-0.2,2,-1.2) math('a',-3.1,-1.2) math('b',1.9,-1.2) line(4.2,3.1,5,3.8) math('\\mathcal{C}_f',5.15,4.3) line(-1.5,1.5,-4.3,3.5) math('\\displaystyle \\int_{a}^{b} f(x)dx',-6.5,4.6)
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$ alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) = \Big[ F(x)\Big]_a^b $
On se place dans un repère orthonormé d'unité $1\; cm$.
Soit une fonction $f_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x) = 2x +1$.
Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{f_1}$ de $f_1$.
Hachurer le domaine $\mathcal{D}_1$ du plan délimité par $\mathcal{C}_{f_1}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=5$. Calculer l'aire $\mathcal{A}_1$ du domaine $\mathcal{D}_1$ géométriquement puis algébriquement.
Soit une fonction $f_2$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par $\displaystyle f_2(x) = \frac{1}{x}$.
Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{f_2}$ de $f_2$.
Hachurer le domaine $\mathcal{D}_2$ du plan délimité par $\mathcal{C}_{f_2}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$. Calculer l'aire $\mathcal{A}_2$ du domaine $\mathcal{D}_2$ algébriquement.
Soit une fonction $f_3$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\displaystyle f_3(x) = x^2$.
Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{f_3}$ de $f_3$.
Hachurer le domaine $\mathcal{D}_3$ du plan délimité par $\mathcal{C}_{f_3}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=3$. Calculer l'aire $\mathcal{A}_3$ du domaine $\mathcal{D}_3$ algébriquement.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positive sur l'intervalle $I = [a;b]$ ($a \leqslant b$) telles que pour tout $x \in I$, $f(x) \leqslant g(x)$ alors l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par les deux courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les deux droites verticales d'équation $x=a$ et $x=b$ vaut : $\displaystyle \int_{a}^{b} \Big(g(x) - f(x)\Big)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx - \int_{a}^{b}f(x)dx$
On se place dans un repère orthonormé d'unité $1\; cm$. Soient deux fonctions $f_1$ et $f_2$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_1(x) = 2x + 4$ et $f_2(x) = e^x$.
Dans un même repère, tracer les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f_1}$ de $f_1$ et $\mathcal{C}_{f_2}$ de $f_2$
Démontrer que pour $x \in [0;2]$, $f_1(x) > f_2(x) $.
Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ du plan délimité par $\mathcal{C}_{f_1}$, $\mathcal{C}_{f_2}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$. Arrondir à $0,1$ près.
Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $a$ et $b$ deux réels tels que $a \in I$ et $b \in I$. Soient $f$ une fonction continue sur $I$ et dont une primitive sur $I$ est la fonction $F$. L'*{bold::intégrale} de la fonction continue $f$ entre $a$ et $b$ vaut : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) = \Big[ F(x)\Big]^b_a $
Calculer $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$ : vspace{10}
avec $\displaystyle f(x) = 3x^2 - 3x +1$, $\displaystyle a = 3$ et $\displaystyle b = 5$
&
avec $\displaystyle f(x) = e^x + \frac{1}{x}$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ et $\displaystyle b = 1$
||
avec $\displaystyle f(x) = \sin{x}$, $\displaystyle a = 0$ et $\displaystyle \frac{\pi}{2}$.
&
avec $\displaystyle f(x) = -5x + 10$, $\displaystyle a = -3$ et $\displaystyle \frac{3}{2}$
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$, et $b$ deux réels appartenant à $I$ et $\alpha$ et $\beta$ deux réels alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} \Big(\alpha f(x) + \beta g(x)\Big)dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx $
Calculer $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx$ en utilisant la propriété précédente (arrondir à $0,01$ près le cas échéant) :
avec $\displaystyle f(x) = 7x + 6x^2$, $\displaystyle a = 0$ et $\displaystyle b = 2$
&
avec $\displaystyle f(x) = -2e^x + 3x$, $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ et $\displaystyle b = 1$
||
avec $\displaystyle f(x) = 9\sin{x} - 3\cos{x}$, $\displaystyle a = 0$ et $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
&
avec $\displaystyle f(x) = \frac{3}{x} + 7x^4$, $\displaystyle a = -3$ et $\displaystyle \frac{3}{2}$
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leqslant b$ et $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle $[a;b]$ alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \geqslant 0 $
Démontrer que $\displaystyle \int_{-1}^{5} (2x^2 + 3) dx$ et que $\displaystyle \int_{-3}^{-1} 8\e^{-2x-5}dx$ sont positives.
Soient $f$ une fonction continue sur l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$, $b$ et $c$ trois réels appartenant à $I$ alors : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx $
On a représenté la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;10]$ :
mark({Ox : '1cm', Oy : '5cm',dx: 1,cmx : 2,cmy: 1}) grid(3) width(3) curve('1.5x',0,2,0.01) curve('0.25*x+2.5',2,8,0.01) curve('-4.5/2(x-10)',8,10,0.01) &
Par le calcul, déterminer $\displaystyle \int_{0}^{10} f(x)dx$
En utilisant l'aire de trapèzes rectangles, déterminer l'aire du domaine du plan délimité par $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=10$
vspace{140}
Soient $f$ une fonction continue sur l'intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a$, et $b$ deux réels appartenant à $I$ alors / $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx $
On a représenté la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-3,5;4,5]$ :
mark({Ox : '4cm', Oy : '3cm',dx: 1,cmx : 1,cmy: 1}) grid(3) width(3) curve('-1/3x - 2/3',-10,10,0.01) & Par le calcul, déterminer l'aire du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x=0,5$ et $x=3,5$ vspace{190}
Soient $a$, et $b$ deux réels tels que $a < b$ et $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$. On appelle *{bold::valeur moyenne} de la fonction $f$ sur $[a;b]$ le réel : $\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx$
Soit $f$ une fonction continue et périodique de période $T > 0$ ($2\pi$ pour les fonctions trigonométriques comme $\cos$ ; $\sin$ ) alors la valeur moyenne de $f$ vaut (pour tout réel $a$ ) : $\displaystyle \frac{1}{T}\int_{a}^{a+T} f(x)dx$
Calculer la valeur moyenne de la fonction $\displaystyle f(x) = 3 - 6x$ sur $[2;4]$
Calculer la valeur moyenne de la fonction $\displaystyle f(x) = \dfrac{3}{x}$ sur $[1;e]$
Calculer la valeur moyenne de la fonction $\displaystyle f(x) = 5\e^{4x-5}$ sur $[-1;2]$
Calculer la valeur moyenne de la fonction $\displaystyle f(x) = 2\cos(3x)$
Calculer la valeur moyenne de la fonction $\displaystyle f(x) = -\sin(5x)$
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = xe^x$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$. On pose : $\displaystyle I = \int_0^1 f(x)dx $
Etudier le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = (ax+b)e^x$ soit une primitive de $f$.
Vérifier que $I=1$. Interpréter graphiquement l'intégrale $I$.
Soit $k$ un réel tel que $k \leqslant 0$. On note $\mathcal{D}(k)$ l'ensemble des points $M$ du plan compris entre l'axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$ et dont l'abscisse $x$ appartient à $[0;k]$. Exprimer l'aire $\mathcal{A}(k)$ du domaine $\mathcal{D}(k)$, en unités d'aire du repère.
Exprimer $\mathcal{A}(k)$ en fonction de $k$.
Calculer la limite de $\mathcal{A}(k)$ quand $k$ tend vers $+\infty$.
Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\phi(t) = t\sin{(\pi t)}$. On note $\mathcal{C}_\phi$ la courbe représentative de $\phi$.
Etudier le signe de $\phi$ sur $[0;3]$.
Déterminer le réel $\lambda$ tel que la fonction $\Phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\Phi(t) = \lambda(\sin{(\pi t)} - \pi t \cos{(\pi t)})$ soit une primitive de $\phi$ sur $\mathbb{R}$.
Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_\phi$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$.
Soit $h$ la fonction définie sur $[0;11]$ par : $\left\{\begin{array}{lcl} h(x) = x^2+1 & \mathrm{pour} & x \in [0;2] \\ h(x) = 6-0,5x& \mathrm{pour} & x \in [2;8] \\ h(x) = 2& \mathrm{pour} & x \in [8;11] \\ \end{array} \right. $
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans le repère $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$. Calculer l'aire du domaine du plan délimité par $\mathcal{C}_h$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=11$.
On considère la fonction $f$ définie sur $[1;+\infty[$ par : $\displaystyle f(x) = \frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}$ où $\alpha$ est un réel tel que $\alpha > 0$.
La variable aléatoire $X$ suit la loi de Pareto de paramètre $\alpha$ lorsque pour $a$ et $b$ deux réels tels que $1 \leqslant a \leqslant b$, la probabilité de l'événement "$X$ appartient à $[a;b]$" vaut : $\displaystyle P(a \leqslant X \leqslant b) =P(X \in [a;b]) = \int_a^b f(x) dx$
On définit par l'espérance mathématique, notée $E(X)$, par : $\displaystyle E(X) = \underset{t \rightarrow +\infty}{\lim} \int_1^t xf(x)dx$
La fonction de répartition de la variable aléatoire $X$, notée $F$, et définie sur $[1;+\infty[$ et par : $\displaystyle F(x) =P(1 \leqslant X \leqslant x) = \int_1^x f(t) dt$
Démontrer que $\displaystyle g(x) = -\frac{1}{x^\alpha}$ est une primitive de $f$ sur $[1;+\infty[$
Soit $t$ un réel tel que $t \geqslant 1$. Calculer $\displaystyle \int_1^t f(x)dx$.
Calculer $\displaystyle\underset{t \rightarrow +\infty}{\lim} \int_1^t f(x)dx$. En déduire que la fonction $f$ est bien une densité de probabilité.
Calculer $P(a \leqslant X \leqslant b)$ et $P(X = a)$.
On suppose que $P(1 \leqslant X \leqslant 5) = 0,5$, calculer alors $\alpha$ puis donner l'arrondi au centième.
On suppose que $\alpha = 0,5$ :
Donner l'expression de la fonction de répartition $F(x)$ en fonction de $x$.
Calculer $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$. En déduire $P(X > 3)$ à $10^{-3}$ près. Calculer $E(X)$.
On suppose que $\alpha = 1,5$ :
Donner l'expression de la fonction de répartition $F(x)$ en fonction de $x$.
Calculer $P(X > 4)$ à $10^{-3}$ près. Calculer $E(X)$.
Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $f_1(x) = -x^2+4$ et $f_2(x) = x+2$ On note $\mathcal{C}_{f_1}$ et $\mathcal{C}_{f_2}$ les courbes représentatives de $f_1$ et $f_2$ dans le repère $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$.
Déterminer les points d'intersections d'abscisses $\alpha_1$ et $\alpha_2$ de $\mathcal{C}_{f_1}$ et $\mathcal{C}_{f_2}$ ($\alpha_1 < \alpha_2$)
Calculer l'aire du domaine du plan délimité par $\mathcal{C}_{f_1}$, $\mathcal{C}_{f_2}$ et les droites d'équations $x=\alpha_1$ et $x=\alpha_2$.
Soit $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par : $g(x) = \ln{x}$.
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ dans le repère $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$.
Etudier le signe de $g$ sur $]0;+\infty[$.
Déterminer le réel $k$ tel que la fonction $G$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $G(x) = x(k+\ln{x})$ soit une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$ .
Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$.
Déterminer la valeur moyenne de $f(x) = 5\e^{4-8x} + 3x^3$ sur $[-2;3]$
Déterminer la valeur moyenne de $g(x) = \dfrac{-2}{x} + \dfrac{4}{x^2}$ sur $[2\e;3\e]$