La fonction *{bold::logarithme népérien} noté $\ln$ est la fonction définie, dérivable et continue sur $]0;+\infty[$ comme la primitive de la fonction $\dfrac{1}{x}$ qui s'annule en $1$, c'est à dire : $[\ln(x)]' = \ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $\ln(1) = 0$
La fonction *{bold::logarithme népérien} noté $\ln$ est la fonction définie, dérivable et continue sur $]0;+\infty[$ telle que $y = \ln(x) \ssi x = \e^{y}$
,, $\ln(1) = 0$ et $\ln(\e) = 1$ & ,, La dérivée de $\ln(x)$ est $\frac{1}{x}$
La fonction $\ln(x)$ est définie, continue et dérivable sur $]0;+\infty[$. La fonction $\ln(x)$ est *{bold::croissante} sur $]0;+\infty[$. On a de plus, $\displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \ln(x) = -\infty$ et $\displaystyle \underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln(x) = +\infty$ : move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('0','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('a','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("\\ln",25,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(130,'h-20') line(215,-65) math("-\\infty",90,'h-30',{fontSize: '14pt'}) math("+\\infty",352,'h-100',{fontSize: '14pt'}) arrow('-') line(82,'h-10',82,'h-95') line(78,'h-10',78,'h-95')
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $\ln(x)$ a pour asymptote verticale l'axe des ordonnées lorsque $x \rightarrow 0^+ $ mark({Ox: '2cm',Oy: '3.5cm',dx: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('ln(x)',0,30,0.001)
En utilisant la calculatrice donner $\ln(2)$ ; $\ln(3)$ ; $\ln(4)$ ; $\ln(2,6)$ ; $\ln(2,7)$ et $\ln(2,8)$. Arrondir au millième.
Déterminer une approximation au millième du nombre $\e$.
Soit la fonction $g(x) = \ln(x-1) + 2$
Donner l'ensemble de définition et de dérivabilté de $g$.
Construire un tableau de variation de $g$.
Dans un repère, tracer la courbe représentative de $g$.
Déterminer graphiquement $x$ tel que $g(x) = 4$.
Pour $a$ et $b$ deux réels tels que $a > 0$ et $b > 0$ : $\displaystyle \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle \ln(8\times 6) $
&
$\displaystyle \ln(7x) $
&
$\displaystyle \ln(10\times 10) $
||
$\displaystyle \ln(2^7) $
&
$\displaystyle \ln(2xy) $
&
$\displaystyle \ln(x\times x ) $
Pour $a$ et $b$ deux réels tels que $a > 0$ et $b > 0$ : $\displaystyle \ln\Big(\frac{a}{b}\Big) = \ln(a) - \ln(b)$
Pour $b$ un réel tel que $b > 0$ : $\displaystyle \ln\Big(\frac{1}{b}\Big) = - \ln(b)$
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{34}{2}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{1}{5x}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{7}{x}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{(10^{-9})} $
||
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{2}{6x}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{1}{2xy}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{2x}{7}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{(3^{-2})} $
||
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{8x}{3}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{9x}{y}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{2y}{2x}\Big)} $
&
$\displaystyle \ln{\Big( \frac{xy}{z}\Big)} $
Pour $a$ un réel tel que $a > 0$ et $n \in \mathbb{Z}$ : $\displaystyle \ln{(a^n)} = n\ln{(a)}$
Calculer les expressions suivantes :
$\displaystyle \ln{( x^{8})} $
&
$\displaystyle \ln{(3^{-15})} $
&
$\displaystyle \ln{( (xy)^{8})} $
&
$\displaystyle \ln{(z^{-2})} $
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in I$, $u(x) > 0$ . Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et par : $f(x) = \ln{\Big(u(x)\Big)}$. $f$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$
Donner les dérivées de :
$\displaystyle f_1(x) = \ln{(3x+2)}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \ln{(1-x)}$
&
$\displaystyle f_3(x) = \ln{(x^2+1)}$
||
$\displaystyle f_4(x) = x\ln{(x^2+3)}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \ln{\Big(1 + \frac{1}{x}\Big)}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{\ln{(1+x)}}{x}$
||
$\displaystyle f_7(x) = \ln{\Big(\frac{x-1}{x+1}\Big)}$
&
$\displaystyle f_8(x) = \ln{\Big(\frac{x^2+2}{x}\Big)}$
&
$\displaystyle f_9(x) = (2x+1)\ln{(2x+1)}$
||
$\displaystyle f_{10}(x) = \ln{(x^3+x^2)}$
&
$\displaystyle f_{11}(x) = \ln{(x)}$
&
$\displaystyle f_{12}(x) = \ln{(7x^2-9x^3+\frac{1}{x})}$
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in I$, $u(x) > 0$ . Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et par : $f(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$. Une primitive sur $I$ de $f$ est $F$ : $\displaystyle F(x) = \ln{\Big(u(x)\Big)}$
Donner une primitive de :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{3}{2x-4}$
&
$\displaystyle f_2(x) = x+\frac{3}{4x-5}$
&
$\displaystyle f_3(x) =\frac{x}{x^2+1}$
||
$\displaystyle f_4(x) = x^2 + 3x+ \frac{1}{1-3x}$
&
$\displaystyle f_5(x) = 2 + \frac{1}{2x-1} + \frac{1}{(2x-1)^2}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{x+1}{x^2+2x+2}$
||
$\displaystyle f_7(x) = \frac{2}{x-4} + \frac{1}{2x+7}$
&
$\displaystyle f_8(x) = \frac{1}{x\ln{x}} $
&
$\displaystyle f_9(x) = \frac{-8x^2}{8x^2-9} $
Soient $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ :
,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} \ln{(u(x))} = \ln{(b)}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} \ln{(u(x))} = +\infty$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln{(u(x))} = \ln{(b)}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln{(u(x))} = +\infty$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \ln{(u(x))} = \ln{(b)}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \ln{(u(x))} = +\infty$ ||
,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\ln(x + 1)}{x} = 1$ & ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ & ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} x\ln(x) = 0$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} \ln{(1-x^2)}\;$
&
$\displaystyle \;\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln{(x^2+1)}\;$
&
$\displaystyle \;\underset{x \rightarrow 3}{\lim} \ln{\Big( \frac{x-3}{x}\Big)}\;$
||
$\displaystyle \;\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln{\Big( \frac{x+9}{x}\Big)}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{\frac{1}{x}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{3x+9}\;$
La fonction *{bold::logarithme décimal}, notée $\log$, est la fonction définie sur l'intervalle $I=]0;+\infty[$ par : $\displaystyle \log{(x)} = \frac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}$
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a >0$ et $b >0$ et $n \in \mathbb{Z}$ :
,, $\log{(1)} = 0 $ et $\log{(10)} = 1 $ & ,, $\log{(ab)} = \log{(a)} + \log{(b)} $ || ,, $\displaystyle \log{\Big(\frac{a}{b}\Big)} = \log{(a)} - \log{(b)} $ & ,, $\displaystyle \log{\Big(\frac{1}{b}\Big)} = - \log{(b)} $ || ,, $\displaystyle \log{(a^n)} = n\log{(a)} $ & ,, $\displaystyle \log{(10^n)} = n $
Calculer :
$\log{(10^3)}$
&
$\log{(10\; 000)}$
&
$\log{(10^{-2})}$
&
$\log{(0,001)}$
Pour tout réel $a > 0$ et pour tout réel $b$, le nombre $a^b$ est défini par : $\displaystyle a^b = \e^{b\ln{(a)}}$
Ecrire les nombres suivants sous la forme $\e^{b\ln{(a)}}$ :
$1,6^8$
&
$0,5^x$
&
$x^{-\frac{3}{4}}$
&
$x^{9,6}$
Pour tout réel $a > 0$, on appelle *{bold::fonction exponentielle de base $a$} la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ et par : $\displaystyle f(x) = a^x = e^{x\ln{(a)}}$
Pour tout réel $a > 0$, la fonction définie par $\displaystyle f(x) = a^x = e^{x\ln{(a)}}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $\displaystyle f'(x) = \ln{(a)}a^x = \ln{(a)}e^{x\ln{(a)}}$
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{1}{2}^x$ :
Donner l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
Donner les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
Construire le tableau de variation de $f$.
Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de $f$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$e^{2x} = 10$
&
$5e^{10x} - 100= 0 $
&
$\displaystyle e^{-2x + 4} = \frac{1}{4}$
&
$\displaystyle e^{2x - 7} = e^{0,5x}$
||
$\displaystyle e^{x^2} = e^{2x-1}$
&
$\displaystyle 5e^{0,5x+1} -1 = 0$
&
$e^{2x+ 9} = 1$
&
$2e^{x-3} - 5 = 0$
||
$\displaystyle 0,5e^{3x-3} = \frac{1}{6}$
&
$\displaystyle e^{x + 2} = e^{1-x}$
&
$\displaystyle e^{x^2+6} = e^{3x}$
&
$\displaystyle e^{x+1} = e^{2x}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
$e^{x} < 9 $
&
$30e^{x} > 10$
&
$\displaystyle e^{2x - 4} \leqslant 5$
&
$\displaystyle e^{7x} \geqslant 5$
||
$\displaystyle 20e^{3x} - \sqrt{2} < 0$
&
$e^{2x+ 9} > 1$
&
$\displaystyle e^{5x+1} \leqslant e^{-x}$
&
$\displaystyle 4e^{x} - 5 \geqslant 0$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$\log{(x)} = 10$
&
$\displaystyle \log{(5x)} = \frac{2}{3}$
&
$\displaystyle \log{(7x)} = \frac{7}{8}$
&
$\displaystyle \log{(3x)} = -\frac{10}{23}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
$x^{10}=4$
&
$x^{1,5} = 2$
&
$x^{\frac{1}{3}} = 3$
&
$x^{6} = 5$
||
$x^{2} = 100$
&
$x^{13}=0,47$
&
$x^{6,9} = 10$
&
$x^{0,5} = \sqrt{2}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
$\ln{(x)} > -2$
&
$\ln{(1,5x-1)} \leqslant 6$
&
$4\ln{(2x-6)} + 3> 0$
&
$\ln{(2-x)} < -1$
||
$2\ln{(3x - 3)} \leqslant 5$
&
$4\ln{(7-8x)} \geqslant 3$
&
$2\ln{(3x-3)} + 5 < 0$
&
$\ln{(4x-5)} \geqslant 3$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
$10^n \leqslant 0,5$
&
$5^n \geqslant 50$
&
$0,65^n \leqslant 0,005$
&
$0,1^n \geqslant 10^{-10}$
Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels et $f$ une fonction définie par : $f(x) = \ln{(ax^2+bx+c)}$. On suppose qu'il existe un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in I$, $ax^2+bx+c > 0$.
Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
On suppose que $f$ est dérivable en $0$ et $1$. Sachant que $f(0) = f(1) = 0$ et $f'(1) = 1$, déterminer $a$,$b$ et $c$.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \ln{(x^2-x+1)}$. Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2-x+1 > 0$
Calculer $g'$, dérivée de $g$, puis étudier le signe de $g'$.
Déterminer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$ puis donner le tableau de variations de $g$ en y faisant figurer les limites.
Soit $h$ le fonction définie sur $\displaystyle \Big]-\frac{1}{3};+\infty\Big[$ par : $\displaystyle h(x) = \ln{\Big(\frac{3x-1}{x+1}\Big)}$
Développer $(x-1)^2(x+2)$. En déduire les solutions de l'équation dans $\mathbb{R}$ de $x^3-3x+2 = 0$
Dans un repère $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$. Montrer que $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ ont un unique point en commun, et qu'en ce point, $\mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ ont la même tangente.
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par : $f(t) = 5e^{\big(-\frac{1}{2}\ln{2}\big)t} $. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-contre.
Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. En donner une interprétation graphique.
Calculer $f'(t)$ pour $t \in [0;+\infty[$. Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$. La tracer dans le repère.
Vérifier que pour tout $t \in [0;+\infty[$ : $\displaystyle f(t+2) = \frac{1}{2}f(t) $. Le nombre de cellules, exprimé en millions, d'une culture cellulaire soumise à une expérimentation est modélisé, en fonction du temps, par la fonction $f$.
Comment interpréter l'égalité de la question *{bold::3.} ?
Déterminer l'instant $t$ (en heures et minutes) où le nombre de cellules n'est plus que de $750\;000$.
Retrouver graphiquement le résultat en faisant apparaître les tracés utiles.
& mark({Ox: '1cm',Oy: '8cm',cmx: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('5*e^(-0.5*ln(2)*x)',-30,30,0.001)
L'intensité sonore $I$ d'un son caractérise le volume de ce son. L'unité de mesure de l'intensité sonore est le watt par mètre carré ($Wm^{-2}$). Le niveau sonore $N$ de ce son est donné par la relation : $ N = 10\log{\Big( \frac{I}{I_0}\Big)} $ où $I_0$ est une intensité sonore de référence valant $I_0 = 10^{-12}\;Wm^{-2}$. Le niveau sonore ainsi calculé est exprimé en décimal ($dB$)
Déterminer le niveau sonore en $dB$ quand l'intensité sonore vaut $10^{-12}\;Wm^{-2}$. On parle de seuil d'audibilité.
On considère deux sons d'intensité sonore $I_1$ et $I_2$ et de niveau sonore $N_1$ et $N_2$. Quand on double l'intensité sonore : $I_2 = 2I_1$, quelle est la différence $N_2-N_1$ des niveaux sonores ?
Quand la différence de deux niveaux sonores vaut $20\;dB$, quel est le rapport entre les deux intensités sonores.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $]0;+\infty[$ par : vspace{5} $\displaystyle \bullet \; f(x) = \ln{(x+1)} - \ln{x} - \frac{1}{x+1}$ et vspace{5} $\displaystyle \bullet \; g(x) = \ln{(x+1)} - \ln{x} - \frac{1}{x}$ vspace{5}
Calculer la limite de $f$ en $0$.
Déterminer la limite de $\displaystyle x \mapsto \frac{x+1}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En déduire $\displaystyle \;\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \ln{\Big( \frac{x+1}{x}\Big)}\;$
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Etudier le signe de $f'$.
Etablir le tableau de variations de $f$ en y faisant figurer les limites.
Démontrer que pour $x > 0 $ : $\displaystyle \frac{1}{x+1} \leqslant \ln{(x+1)} - \ln{(x)}$
Déterminer la dérivée $g'$ de $g$.
Etudier le signe de $g'$.
Etablir le tableau de variations de $g$.
Démontrer que pour $x > 0 $ : $\displaystyle \ln{(x+1)} - \ln{(x)} \leqslant \frac{1}{x} $
Donner un encadrement de $\displaystyle \ln{\Big(\frac{x+1}{x}\Big)}$
On note $[H_3O^+]$ et $[OH^-]$ les concentrations molaires (en $molL^{-1}$) en hydronium et hydroxydes dans une solution. Pour toute solution aqueuse à une température de $25\;^\circ C$, $[H_3O^+]\times [OH^-] = 10^{-14}$. Le potentiel hydrogène d'une solution, noté $pH$, est donné par $pH = -\log{\Big( [H_3O^+]\Big)}$ ($pH \in [0;14]$)
Une solution aqueuse est neutre quand $[H_3O^+] = [OH^-]$. Déterminer le $pH$ d'une solution neutre (eau pure).
Une solution est acide lorsque lorsque sa concentration $[H_3O^+]$ est supérieure à celle de l'eau pure. sinon elle est dite basique. Comparer le $pH$ d'une solution acide au $pH$ de l'eau pure.
La solution $S_1$ a une concentration $[H_3O^+]$ $1\;000$ fois supérieure à celle de la solution $S_2$ dont le $pH$ vaut $6$. Quelle est le $pH$ de la solution $S_1$ ?
Résoudre $\log{(x)} = -8,5$. Une solution dont le $pH$ vaut $8,5$ est-elle acide ou basique ?