La fonction *{bold::exponentielle} noté $\exp$ est la fonction définie, dérivable et continue sur $\R$ telle que : $[\exp(x)]' = \exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(0) = 1$
,, $\exp(x)$ est très souvent notée $\e^x$ & ,, $\exp(1) = \e$ et $\exp(0) = \e^0 = 1$ || ,, Pour $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x)\times \exp(-x) = 1$ & ,, Pour $x \in \mathbb{R}$, $\exp(x) > 0$ ou $\e^x > 0$ || ,, La dérivée de $\exp(x)$ est $\e^x$ & ,, Une primitive de $\exp(x)$ est $\e^x$
La fonction $\exp(x)$ est définie, continue et dérivable sur $\mathbb{R}$. La fonction $\e^x$ est *{bold::croissante} sur $\mathbb{R}$. On a de plus, $\displaystyle \underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \e^x = 0$ et $\displaystyle \underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \exp(x) = +\infty$ : move(10,5) down('h-10') right('w-20') up('h-10') left('w-20') move(70,5) down('h-10') move(10,50) right('w-20') math('x',30,15,{fontSize: '14pt'}) math('-\\infty','lastX+45','lastY',{fontSize: '14pt'}) math('+\\infty','w-50','lastY',{fontSize: '14pt'}) //math('a','w-180','lastY',{fontSize: '14pt'}) math("\\exp",25,'h-60',{fontSize: '14pt'}) arrow('->') move(95,'h-20') line(250,-65) math("0",80,'h-30',{fontSize: '14pt'}) math("+\\infty",352,'h-100',{fontSize: '14pt'})
Dans un repère, la courbe représentative de la fonction $\exp(x) = \e^x$ a pour asymptote horizontale l'axe des abscisses lorsque $x \rightarrow -\infty $ : mark({Ox: '10cm',Oy: '6.5cm',dx: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('e^x',-30,30,0.001)
En utilisant la calculatrice donner $\e$ ; $\e^2$ ; $\exp(3)$ ; $\e^{-1}$ ; $\exp(-2)$. Arrondir au millième.
Soit la fonction $g(x) = \exp(x-1) + 2$.
Donner l'ensemble de dérivabilté de $g$ puis construire un tableau de variation de $g$.
Dans un repère, tracer la courbe représentative de $g$.
Déterminer graphiquement $x$ tel que $g(x) = 1$.
Soit la fonction $h(x)$ telle que $h'(x) = 2h(x)$ et telle que $h(0) = 1$.
Déterminer l'expression de $h$.
Construire un tableau de variation de $h$.
Soit la fonction $f(x)$ telle que $f'(x) = -3f(x) + 2$ et telle que $f(0) = 3$.
Déterminer l'expression de $f$.
Construire un tableau de variation de $f$.
Pour $a$ et $b$ deux réels : $\displaystyle \e^{a+b} = \e^a \times \e^b $
Calculer les expressions suivantes :
$\e^{2+3}$
&
$\e^{ \frac{1}{3} + \frac{3}{4}}$
&
$\e^{ \frac{2}{5} + x }$
&
$\e^{ y + x }$
||
$\e^{2,7x+9}$
&
$\e^{ 3x^2+2x+1}$
&
$\e^{ 7x+y}$
&
$\e^{ 9+3,3y+6x+2x^2}$
Pour $a$ et $b$ deux réels : $\displaystyle \e^{a-b} = \e^a \div \e^b = \dfrac{\e^a}{\e^b} $
Calculer les expressions suivantes :
$\e^{2-9,7}$
&
$\e^{ \frac{2}{5} - \frac{3}{4}}$
&
$\e^{ \frac{1}{3} + x }$
&
$\e^{ y - x }$
||
$\e^{4x-0,7}$
&
$\e^{ 3x^2-2x-1}$
&
$\e^{ x-y+3}$
&
$\e^{ 9-2y-6x+2x^2}$
Pour $a$ et $b$ deux réels et $n \in \mathbb{Z}$ : $\displaystyle \e^{ab} = \Big(\e^a\Big)^b = \Big(\e^b\Big)^a $ et $\displaystyle \e^{na} = \Big(\e^a\Big)^n $
Calculer les expressions suivantes :
$\e^{2\times 4}$
&
$\e^{ 7x}$
&
$\e^{ 2yx}$
&
$\e^{0,5x}$
||
$\e^{-4x}$
&
$\e^{8y}$
&
$\e^{ xyz}$
&
$\e^{3x+7y}$
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ . Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et par : $f(x) = e^{u(x)}$. $f$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) =u'(x)e^{u(x)}$
Donner les dérivées de :
$\e^{4x+1}$
&
$\e^{2x+3}$
&
$3x-4x^2+\e^{2x^2}$
&
$\e^{\frac{1}{x} - 7x^6}$
||
$\e^{-\frac{1}{x^2} + \sqrt{3x-1}}$
&
$\e^{\frac{4x+8}{\cos{x}}}$
&
$\e^{ 2\sin{(7x-8)}}$
&
$(x-1)\e^{-x^2 + 3\sin^2{x}}$
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soit $f$ une fonction définie sur $I$ et par : $f(x) = u'(x)e^{u(x)}$. Une primitive sur $I$ de $f$ est $F$ : $\displaystyle F(x) = e^{u(x)}$
Donner une primitive de :
$3e^{x}+x^2$
&
$2\e^{3x+1}$
&
$\displaystyle \frac{3\e^x}{\e^x+1}$
&
$2\e^{x}+\cos{x}$
||
$\displaystyle \frac{1}{\e^{3x}}$
&
$2-x\e^{-x^2}$
&
$\e^{2x} - 5\e^x+8$
&
$\displaystyle \frac{2\e^x}{(\e^{x}+1)^2}$
Soient $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ :
,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} e^{u(x)} = e^{b}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} e^{u(x)} = +\infty$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{u(x)} = e^{b}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{u(x)} = +\infty$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} u(x) = +\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{u(x)} = +\infty$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = -\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} e^{u(x)} = 0$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} u(x) = b\;$ alors $\;\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{u(x)} = e^{b}$ & ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} u(x) = -\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{u(x)} = 0$ || ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} u(x) = -\infty\;$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{u(x)} = 0$
,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \dfrac{\e^x - 1}{x} = 1$ & ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \dfrac{\e^x}{x} = +\infty$ & ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} x\e^x = 0$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{\frac{1}{x}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{3x+9}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} e^{\frac{1}{x^2}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 3^-}{\lim} e^{\frac{1}{x-3}}\;$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{\frac{1}{x}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{3x+9}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} e^{\frac{1}{x^2}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 3^-}{\lim} e^{\frac{1}{x-3}}\;$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{\frac{1}{x}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{3x+9}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} e^{\frac{1}{x^2}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 3^-}{\lim} e^{\frac{1}{x-3}}\;$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} e^{\frac{1}{x}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} e^{3x+9}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} e^{\frac{1}{x^2}}\;$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 3^-}{\lim} e^{\frac{1}{x-3}}\;$
La température $f$ en $^\circ C$ du lubrifiant d'un moteur varie en fonction du temps $t$ exprimé en heures. La fonction $f$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $f(t) = 30 - 10\e^{-0,1t}$
Déterminer la température du lubrifiant à l'arrêt at au bout de $24\;h$.
Déterminer $\displaystyle \underset{t \rightarrow +\infty}{\lim} f(t)$. Donner une interprétation graphique de ce résultat puis donner une signification concrète pour ce lubrifiant.
Calculer $f'(t)$, la dérivée de $f$ sur $[0;+\infty[$ . En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ dans un repère adapté.
A quel instant la température du lubrifiant est-elle de $28^\circ C$ ? Donner une valeur approchée à l'heure près.
Soit $g$ une fonction définie par $g(x) = 2\e^x+2x+3$ sur $\mathbb{R}$.
Etudier le fonction $g$ et la représenter la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ dans le repère $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$.
En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.
Donner l'arrondi au dixième de $\alpha$.
En déduire le signe de $g(x)$.
Soit $f$ une fonction définie par $f(x) = 2\e^x+x^2+3x$ sur $\mathbb{R}$.
Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et $-\infty$.
Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = x^2+3x$. Déterminer la limite de $f(x) - (x^2+3x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$. Que peut on en déduire graphiquement ?
Etudier la positon de $\mathcal{P}$ et de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$. Etablir le tabeau de variation de $f$.
Donner une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x-x^2)\e^{-x+2}+1$
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
Montrer que pour $x\in \mathbb{R}$ : $f(x) = \e^2(xe^{-x}-x^2\e^{-x})+1$
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Montrer que pour $x\in \mathbb{R}$ : $f'(x) = (x^2-3x+1)\e^{-x+2}$
Déterminer le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire le sens de variation de $f$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=1$.
Etudier les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $(\Delta)$.
Montrer que sur l'intervalle $[-1;0]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un unique point. On notera $\alpha$ l'abscisse de ce point.
A l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\displaystyle f(x) = \e^{2x} - \frac{9}{2}\e^x+2$
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2\;cm$ : mark({Ox: '5cm',Oy: '4cm',dx: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('e^(2x) - 4.5*e^x+2',-30,30,0.001) &
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$. Interpréter le résultat graphiquement.
Démontrer que pour $x \in \mathbb{R}$ : $\displaystyle f(x) = (\e^{x}-4)\Big( \e^x - \frac{1}{2}\Big) $
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
Démontrer que pour $x \in \mathbb{R}$ : $\displaystyle f'(x) = 2\e^x\Big( \e^x - \frac{9}{4}\Big) $
Etudier le signe de $f'$ puis établir le tableau complet des variations de la fonction $f$ : on calculera en particulier la valeur exacte de l'extremum.
Graphiquement :
Quelle est l'équation de la tangente $(\mathcal{D})$ en $0$ à la courbe $\mathcal{C}_f$.
Résoudre l'équation $f(x) = 0$
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 2$
En utilisant la factorisation de la fonction $f$, résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$.