La fonction *{bold::cosinus}, notée $\cos$, est définie, continue et dérivable sur $\R$ par $\cos : x \mapsto \cos{(x)}$
,, La fonction $\cos$ est $2\pi$ *{bold::périodique} car pour tout $x \in \R$ on a $\cos{(x+2\pi)} = \cos{(x)}$. On peut donc restreindre l'étude de la fonction $\cos$ à un intervalle de longueur $2\pi$ par exemple $[-\pi;\pi]$.
,, La fonction $\cos$ est *{bold::paire} car pour tout $x \in \R$ on a $\cos{(-x)} = \cos{(x)}$. On peut donc restreindre l'étude de la fonction $\cos$ à l'intervalle $[0;+\infty[$. Il suffira alors de faire la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées pour compléter l'étude de la fonction $\cos$ sur $]-\infty;0]$.
,, En combinant les deux propriétés précédentes, on peut restreindre l'étude de la fonction $\cos$ à l'intervalle $[0;\pi]$.
La dérivée de $\cos$ est $-\sin$ et une primitive de $\cos$ est $\sin$.
,, La fonction $\cos$ est décroissante sur $[0;\pi]$ et $\cos{(0)} = 1$, $\cos{(\pi)} = -1$ et $\cos{(\frac{\pi}{2})} = 0$
,, La fonction $\cos$ est bornée par $-1$ et $1$ car pour tout $x\in \R$ on a $-1 \leqslant \cos{(x)} \leqslant 1$
La représentation graphique de la fonction $\cos$ est une *{bold::sinusoïde} : mark({Ox: '11cm',Oy: '2.5cm',dx: 2,dy: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('cos(x)',-10,10,0.001)
,, La fonction $\cos$ ne possède pas de limite en $+\infty$ et $-\infty$ vspace{10} ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;\dfrac{\cos{(x)} - 1}{x} = 0 $
,, $\cos{(x)}^2 + \sin{(x^2)} = 1$ pour tout $x \in \R$ vspace{10} ,, $\cos{(0)} = 1$, $\cos{(\pi)} = -1$, $\cos{(\frac{\pi}{2})} = 0$, $\cos{(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{2}$, $\cos{(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\cos{(\frac{\pi}{6})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ vspace{10} ,, $\cos{(a+b)} = \cos{(a)}\cos{(b)} - \sin{(a)}\sin{(b)}$ où $a$ et $b$ sont deux réels vspace{10} ,, $\cos{(a-b)} = \cos{(a)}\cos{(b)} + \sin{(a)}\sin{(b)}$ où $a$ et $b$ sont deux réels vspace{10} ,, $\cos{(2a)} = 2\cos^2{(a)} - 1 = 1 - 2\sin^2{(a)}$ où $a \in \R$
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3\cos{(x)}}{2+\cos{(x)}}$ vspace{10}
Calculer $f'(x)$. Étudier son signe sur $[0;\pi]$. En déduire les variations de $f$ sur $[0;\pi]$.
Calculer $f(-x)$. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$
Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique
Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$
Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-4\pi;4\pi]$
La fonction *{bold::sinus}, notée $\sin$, est définie, continue et dérivable sur $\R$ par $\sin : x \mapsto \sin{(x)}$
,, La fonction $\sin$ est $2\pi$ *{bold::périodique} car pour tout $x \in \R$ on a $\sin{(x+2\pi)} = \sin{(x)}$. On peut donc restreindre l'étude de la fonction $\sin$ à un intervalle de longueur $2\pi$ par exemple $[-\pi;\pi]$.
,, La fonction $\sin$ est *{bold::impaire} car pour tout $x \in \R$ on a $\sin{(-x)} = -\sin{(x)}$. On peut donc restreindre l'étude de la fonction $\sin$ à l'intervalle $[0;+\infty[$. Il suffira alors de faire la symétrie par rapport à l'origine du repère pour compléter l'étude de la fonction $\sin$ sur $]-\infty;0]$.
,, En combinant les deux propriétés précédentes, on peut restreindre l'étude de la fonction $\sin$ à l'intervalle $[0;\pi]$.
La dérivée de $\sin$ est $\cos$ et une primitive de $\sin$ est $-\cos$.
,, La fonction $\sin$ est croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ et décroissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$
,, La fonction $\sin$ est bornée par $-1$ et $1$ car pour tout $x\in \R$ on a $-1 \leqslant \sin{(x)} \leqslant 1$
La représentation graphique de la fonction $\sin$ est une *{bold::sinusoïde} : mark({Ox: '11cm',Oy: '2.5cm',dx: 2,dy: 2,cmy: 1}) grid(3) width(4) curve('sin(x)',-10,10,0.001)
,, La fonction $\sin$ ne possède pas de limite en $+\infty$ et $-\infty$ vspace{10} ,, $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;\dfrac{\sin{(x)}}{x} = 1 $
,, $\cos{(x)}^2 + \sin{(x^2)} = 1$ pour tout $x \in \R$ vspace{10} ,, $\sin{(0)} = 0$, $\sin{(\pi)} = 0$, $\sin{(\frac{\pi}{2})} = 1$, $\sin{(\frac{\pi}{3})} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin{(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin{(\frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2}$ vspace{10} ,, $\sin{(a+b)} = \cos{(a)}\sin{(b)} + \sin{(a)}\cos{(b)}$ où $a$ et $b$ sont deux réels vspace{10} ,, $\sin{(a-b)} = \cos{(a)}\sin{(b)} - \sin{(a)}\cos{(b)}$ où $a$ et $b$ sont deux réels vspace{10} ,, $\sin{(2a)} = 2\cos{(a)}\sin{(a)}$ où $a \in \R$
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{4\sin{(x)}}{3+\sin{(x)}}$ vspace{10}
Calculer $f'(x)$. Étudier son signe sur $[0;\pi]$. En déduire les variations de $f$ sur $[0;\pi]$.
Calculer $f(-x)$. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$
Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique
Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[0;\pi]$
Tracer la courbe représentative de $f$ sur $[-6\pi;6\pi]$