Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in I$. Le nombre dérivé en $a$ de $f$, noté $f'(a)$, est défini, quand il existe, par : $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \underset{h \rightarrow 0}{\longrightarrow} f'(a)$. $f'(a)$ est appelé le *{bold::nombre dérivée} de la fonctin $f$ en $a$.
Si pour tout réel $a \in I$, $f'(a)$ existe, on dit que $f$ est *{bold::dérivable} sur $I$. $I$ est le domaine de dérivabilité qu'on peut note $D_{f'}$. La *{bold::fonction dérivée}, notée $f'$, est définie sur $D_{f'}$ par : $\displaystyle f' : x \mapsto f'(x)$
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$ alors $f$ est *{bold::continue} sur $I$. Attention la réciproque est fausse.
$m$ et $p$ sont deux réels et $n$ entier naturel.
$f(x)$ & $\mathcal{D}_f$ & $f'(x)$ & $\mathcal{D}_{f'}$ || $f(x) = mx+p$ & $\R$ & $f'(x) = m$ & $\R$ || $f(x) = x^2$ & $\R$ & $f'(x) = 2x$ & $\R$ || $f(x) = x^n$ & $\R$ & $f'(x) = nx^{n-1}$ & $\R$ || $f(x) = \dfrac{1}{x}$ & $\R^*$ & $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ & $\R^*$ || $f(x) = \sqrt{x}$ & $[0;+\infty[$ & $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $]0;+\infty[$ || $f(x) = \cos{(x)}$ & $\R$ & $f'(x) = -\sin{(x)}$ & $\R$ || $f(x) = \sin{(x)}$ & $\R$ & $f'(x) = \cos{(x)}$ & $\R$
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\R$. Soit $a$ et $b$ deux réels et $g$ une fonction définie par $g(x) = f(ax+b)$. La fonction $g$ est alors dérivable sur $I$ et $g'(x) = [f(ax+b)]' = a\times f'(ax+b)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{-3x+7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x-9}$
&
$f_3(x) = x^5$
||
$f_4(x) = \sin{(7x-\pi)}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \cos{\Big(\frac{1}{3}x+\frac{\pi}{3}\Big)}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \sin{(-x-\frac{\pi}{4})}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ alors la fonction $(u+v)(x) = u(x) + v(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (u+v)' (x)= u'(x) + v'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \sqrt{2x-7} + \frac{1}{-8x+7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x-9} - \dfrac{1}{9-2x}$
||
$f_3(x) = x^5 + \cos{{5-6x}}$
&
$f_4(x) = \sin{(x-\pi)} + \cos{(6x)}$
||
$\displaystyle f_5(x) = \cos{\Big(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6}\Big)} - \sqrt{\pi x - 8}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \sin{(-2x-\frac{\pi}{3})} + x^9$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $k$ un réel alors la fonction $(ku)(x) = k\times u(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (ku)' (x)= k\times u'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = -2\sqrt{2x-7}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \dfrac{-8}{9+2x}$
&
$f_3(x) = -8x^6$
||
$f_4(x) = 9\sin{(3x-\pi)} $
&
$\displaystyle f_5(x) =\dfrac{-8}{7x-9}$
&
$\displaystyle f_6(x) = -2\cos{(-2x-\frac{\pi}{3})}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ alors la fonction $(u\times v)(x) = u(x) \times v(x)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle (uv)' (x)= u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x)$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$f_1(x) = x^2\sqrt{3x-8}$
&
$\displaystyle f_2(x) = (8 - 2\cos{x})\frac{1}{x} $
&
$f_3(x) = (2\sin{(-8x-2)} - 1)x^2$
||
$\displaystyle f_4(x) = \sqrt{x}\times \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \sin{x}\cos{x}$
&
$\displaystyle f_6(x) =(6x - 8)(9x^2 + 2x -5)$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ telle que pour tout $x\in I$, $u(x) \not= 0$ alors la fonction $\Big(\displaystyle \frac{1}{u}\Big)(x) = \frac{1}{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle \Big(\frac{1}{u}\Big)' (x)= -\frac{v'(x)}{v^2(x)}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x^2}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \frac{1}{3x-9} $
&
$\displaystyle f_3(x) = \frac{1}{x^3+1}$
||
$\displaystyle f_4(x) = \frac{1}{\sin{x}}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{1}{\cos{4x-\pi}}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle $I$ telles que pour tout $x\in I$, $v(x) \not= 0$ alors la fonction $\Big(\displaystyle \frac{u}{v}\Big)(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle \Big(\frac{u}{v}\Big)' (x)= \frac{u'(x) \times v(x) - u(x) \times v'(x)}{v^2(x)}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{5x -9}{\sqrt{x}}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \frac{7x+9}{x^6 - 3x^2} $
&
$\displaystyle f_3(x) = \frac{\sqrt{x}}{9 - 8x}$
||
$\displaystyle f_4(x) = \frac{\sin{x}}{\cos{(8x-8)}}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \frac{\cos^2{(7x-9)}}{\sin{(x)}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \frac{(x+1)^2}{(x-1)^3} $
Soient $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$ et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in I$, $u(x) \in J$. La fonction $g$ définie par $g(x) = f\Big(u(x)\Big)$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle g'(x) = u'(x) \times f'\Big(u(x)\Big)$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel tel que $n > 0$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \Big(u(x)\Big)^n$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = n \times u'(x) \times \Big(u(x)\Big)^{n-1}$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x) \not= 0$ pour tout $x \in I$ et $n$ un entier naturel tel que $n < 0$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \Big(u(x)\Big)^n$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = n \times u'(x) \times \Big(u(x)\Big)^{n-1}$
Soient $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que $u(x) > 0$ pour tout $x \in I$. La fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et : $\displaystyle f'(x) = \dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x^2-3x+1}$
&
$\displaystyle f_2(x) = \sqrt{2x^3 + x^2 - 7}$
||
$\displaystyle f_3(x) = \Big(\frac{1}{x} - 4 + \cos{x}\Big)^2$
&
$\displaystyle f_4(x) = \sqrt{\frac{1}{x}+7x^2}$
||
$\displaystyle f_5(x) = \sqrt{x^7- \sin{x}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = \Big(9 + \sqrt{x} \Big)^2 $
||
$\displaystyle f_7(x) = \cos{(8 -9x)} $
&
$\displaystyle f_8(x) = \frac{3}{\cos{x}+\sin{x}} $
||
$\displaystyle f_9(x) = \sin{(6x^2+9x)} $
&
$\displaystyle f_{10}(x) = \Big( x^3 - 9x^2+6\Big)^2 $
||
$\displaystyle f_{11}(x) = \sqrt{\sin{(4x - \pi)}} $
&
$\displaystyle f_{12}(x) = \frac{1}{\sqrt{7x - 9}} $
||
$\displaystyle f_{13}(x) = \Big( \sqrt{6x -9}{}\Big)^3 $
&
$\displaystyle f_{14}(x) = \Big(\frac{1}{2x-2}\Big)^5 $
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. On appelle *{bold::primitive de $f$ sur $I$} une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée $F'$ est égale à $f$. C'est à dire pour tout $x \in I$ on a : $\displaystyle F'(x) = f(x)$ vspace{5} C'est l'"action inverse" de la dérivée.
Donner une primitive de :
$f_1(x) = 2x$
&
$\displaystyle f_2(x) = -\frac{1}{x^2}$
&
$f_3(x) = \cos{x}$
||
$f_4(x) = \sin{x}$
&
$\displaystyle f_5(x) = \frac{2}{\sqrt{x}}$
&
$\displaystyle f_6(x) = -7 $
$f(x)$ & $F(x)$ & $I$ || $k$ ($k \in \mathbb{R})$ & $kx + C$ & $\mathbb{R}$ || $x$ & $ \frac{x^2}{2}+ C$ & $\mathbb{R} $ || $\frac{1}{x^2}$ & $ -\frac{1}{x}+ C$ & $\mathbb{R}^{+*} $ ou $\mathbb{R}^{-*} $ || $x^n$ ($n \geqslant 1$) & $ \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C$ & $\mathbb{R}$ || $x^n$ ($n \leqslant -1$) & $ \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C$ & $\mathbb{R}^{+*} $ ou $\mathbb{R}^{-*} $ || $\cos{x}$ & $ \sin{x}+ C$ & $\mathbb{R} $|| $\sin{x}$ & $ -\cos{x}+ C$ & $\mathbb{R} $|| $\cos{(ax+b)}$ & $ \frac{1}{a}\sin{(ax+b)}+ C$ & $\mathbb{R} $ || $\sin{(ax+b)}$ & $ -\frac{1}{a}\cos{(ax+b)}+ C$ & $\mathbb{R} $
Donner une primitive de :
$\displaystyle f_1(x) = \frac{3}{x^2}$
&
$\displaystyle f_2(x) = -\frac{1}{2}\cos{(2x - 8)}$
||
$\displaystyle f_3(x) = \frac{1}{3}\sin{(7+3x)}$
&
$\displaystyle f_4(x) = x^6$
Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors pour tout $k \in \mathbb{R}$ la fonction $G$ définie par $G(x) = F(x) + k$ est *{bold::aussi} une primitive de $f$ sur $I$. vspace{10} Soient deux réels $x_0$ et $y_0$. Si la fonction $f$ admet des primitives sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors il existe *{bold::une unique} primitive $F$ de la fonction $f$ sur $I$ dont l'image de $x_0$ est égale à $y_0$ : $\displaystyle F(x_0) = y_0$
Donner la primitive dont l'image de $x_0$ est égale à $y_0$ :
$f_1(x) = 4x^3$, $x_0=1$ et $y_0=4$
&
$f_2(x) = 9$, $x_0=-1$ et $y_0=5$
||
$f_3(x) = 4x$, $x_0=2$ et $y_0=-1$
&
$f_4(x) = \cos{(x)}$, $x_0=\pi$ et $y_0=6$
||
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $G$ est une primitive de $g$ sur $I$ alors $\alpha F+ \beta G$ est une primitive de $\alpha f+ \beta g$ sur $I$. ($\alpha$ et $\beta$ sont deux réels)
Donner une primitive de :
$f_1(x) = 4x - 3\cos{x}$
&
$f_2(x) = \dfrac{3}{x^2} - \dfrac{7}{2\sqrt{x}}$
||
$f_3(x) = -2\sin{(x)} - \dfrac{4x^5}{6}$
&
$f_4(x) = -\dfrac{2}{x^2} - 3\cos{(x)}$
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soit deux réels $a$ et $b$ ($a \not= 0$) et $g$ une fonction définie par $g(x) = f(ax+b)$ alors il existe une primitive de $G$ ed $g$ sur $I$ et : $G(x) = \dfrac{1}{a}F(ax+b) + k$
Donner une primitive de :
$f_1(x) = 2(4x -9)$
&
$f_2(x) = \dfrac{-1}{(2x-9)^2}$
||
$f_3(x) = \cos{(8x-3)}$
&
$f_4(x) = \sin{(7 - \pi x)}$
||
Soient $u$ une fonction dérivable sur $I$, $n \not= -1 \in \mathbb{Z}$ et $f$ une fonction définie par $f(x) = u'(x) \times \Big(u(x)\Big)^n $. $F$ est une primitive de $f$ définie par : $\displaystyle F(x) = \frac{\Big( u(x)\Big)^{n+1}}{n+1}$ vspace{10} Si $n \leqslant -2$ il faut vérifier que pour tout $x$ de $I$, $u(x) \not= 0$.
Donner une primitive de :
$f_1(x) = 2(4x -9)$
&
$f_2(x) = \dfrac{-1}{(2x-9)^2}$
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$.
Fonction & Une primitive & Domaine de validité || $u'u^n$ avec $n \in \N$ & $\frac{1}{n+1}u^{n+1}$ & $x \in I$ || $\frac{u'}{u^n}$ avec $n \in \N$ et $n \geqslant 2$ & $-\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1}}$ & $x \in I$ tel que $u(x) \not= 0$ || $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $x \in I$ tel que $u(x) > 0$
Donner une primitive de :
$f_1(x) = (2x-1)^3$
&
$f_2(x) = \dfrac{1}{(2x-1)^2}$
&
$f_3(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 -1}}$
Donner l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer sa dérivée :
$\displaystyle f(x) = (4x-3)^2$
&
$\displaystyle f(x) = (3x^2-4x)^3$
&
$\displaystyle f(x) = (2x^2-3x+1)^2$
||
$\displaystyle f(x) = (x^3+2x)^2$
&
$\displaystyle f(x) = (x^3+4x^2+5)^4$
&
$\displaystyle f(x) = 2x^2 - (2x-1)^2$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{2}{(x+1)^3}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{3}{(2x+1)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{4}{(x^3-1)^3}$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{(2x^2+3)^2}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{3(x-1)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =\frac{3}{(3x^2+5)^2}$
||
$\displaystyle f(x) =\frac{5}{3(x-2)^4}$
&
$\displaystyle f(x) =2\Big(\frac{x}{x+1}\Big)^{3}$
&
$\displaystyle f(x) =2\Big(\frac{x+1}{x+2}\Big)^{-2}$
||
$\displaystyle f(x) =(x-2)^3 + \frac{1}{(x-2)^3}$
&
$\displaystyle f(x) =\cos^3{x}$
&
$\displaystyle f(x) = 3\cos{x} + 2\sin^2{x}$
||
$\displaystyle f(x) = 3x^2\cos{7x - 8} $
&
$\displaystyle f(x) = \frac{\cos{(7-3x)}}{x^2}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{x\sin{(3x-4)}}{2x^2+8}$
||
$\displaystyle f(x) =\sqrt{x}\sin{8x^2-2}$
&
$\displaystyle f(x) =\sin{(8x^2 + 6x)}\sqrt{x-3}$
&
$\displaystyle f(x) =\sqrt{\cos^2{(6x+2)}}$
Déterminer une primitive de la fonction $f$ :
$\displaystyle f(x) = x^3$
&
$\displaystyle f(x) = \sin{\Big( 3x - \frac{\pi}{3}\Big)}$
&
$\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}$
||
$\displaystyle f(x) = x^2 - \frac{3}{2}x + 4$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x$
&
$\displaystyle f(x) = x^4 - 2x$
||
$\displaystyle f(x) = \frac{5}{x^2}$
&
$\displaystyle f(x) = -\frac{4}{x^3} + 5$
&
$\displaystyle f(x) = 4x^5+\frac{1}{3}x^3-2$
||
$\displaystyle f(x) = \frac{5}{2}x^3 - \frac{2}{x^2}+x$
&
$\displaystyle f(x) = 4x^2 - \frac{3}{x^3} +2x$
&
$\displaystyle f(x) = 1 - \sin{(2x)}$
||
$\displaystyle f(x) = \cos{(3x)} + \frac{1}{3}\sin{(2x)}$
&
$\displaystyle f(x) = 2\cos{(3x+5)}$
&
$\displaystyle f(x) = 3\sin{\Big(2x+\frac{\pi}{4}\Big)}$
||
$\displaystyle f(x) = x(x^2-1)^2$
&
$\displaystyle f(x) = (x+1)(x^2+2x + 3)^3$
&
$\displaystyle f(x) = (2x+1)^4$
||
$\displaystyle f(x) = \frac{2}{(4x+5)^2}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{-1}{(2x+1)^3}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{3x}{(3x^2+5)^3}$
||
$\displaystyle f(x) = \cos{x}\sin^2{x}$
&
$\displaystyle f(x) = -\frac{3x}{(x^2-4)^3}$
&
$\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-1)^4}$
Soit la fonction $k$ définie par $k(x) = 3(x^2-2x)$ sur $\mathbb{R}$. Etudier les variations de $k$.
Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_k$ de $k$ dans un repère orthonormé.
Etudier le signe de $k$ sur $[-1;3]$.
Déterminer une la primitive $K$ de $k$ sur $[-1;3]$ telle que $K(0) = -2$
En utilisant des résultats précédents, établir le tableau de variations de $K$. Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_K$ de $K$ dans un presser orthonormé.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $ f(x) = \sin{x}\cos^2{x}$; la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $ g(x) = \sin^3{(x)}$ et la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $ h(x) = \sin^2{(x)}$
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f$.
Montrer que $ g(x) = \sin{(x)}(1-\cos^2{x})$. En déduire une primitive $G$ de $g$.
Calculer $\cos{(2x)}$. En déduire une primitive $H$ de $h$ sur $\mathbb{R}$
Un motocycliste se déplace sur une route rectiligne.
Le graphique ci-dessous représente l'évolution de la vitesse $v(t)$ (en $ms^{-1}$) en fonction du temps $t$ (en secondes). Cette courbe représentative comporte trois morceaux :
mark({Ox : '1cm', Oy : '5cm',dx: 1,cmx : 5,cmy: 10}) grid(3) width(3) curve('2x',0,15,0.01) curve('30',15,75,0.01) curve('-(x-105)',75,105,0.01) vspace{5} On se propose de déterminer l'expression de la fonction $d(t)$ en $m$ parcourue en fonction du temps $t$ (en secondes). vspace{5} Pour chaque phase du mouvement, la fonction vitesse $v(t)$ est la dérivée de la fonction $d(t)$.
*{bold::Phase $n^\circ 1$ : mouvement uniformément accéléré}
Donner l'intervalle $I_1$ correspondant à cette phase du mouvement.
Montrer que $v(t) = 2t$ sur $I_1$
Déterminer la primitive $F_1$ de $v(t)$ sur $I_1$ telle que $F_1(0) = 0$.
Que peut-on dire de $d(t)$ et $F_1(t)$ sur $I_1$
Quelle est la distance parcourue par ce motocycliste au bout de $15$ secondes ?
*{bold::Phase $n^\circ 2$ : mouvement uniforme}
Donner l'intervalle $I_2$ correspondant à cette phase du mouvement.
Montrer que $v(t) = 30$ sur $I_2$
Déterminer la primitive $F_2$ de $v(t)$ sur $I_2$ telle que $F_2(15) = 225$.
Que peut-on dire de $d(t)$ et $F_2(t)$ sur $I_2$
Quelle est la distance parcourue par ce motocycliste au bout de $75$ secondes ?
*{bold::Phase $n^\circ3$ : mouvement uniformément décéléré}
Donner l'intervalle $I_3$ correspondant à cette phase du mouvement.
Déterminer l'expression de $v(t)$ sur $I_3$
Déterminer la primitive $F_3$ de $v(t)$ sur $I_3$ telle que $F_3(75) = 2\;025$.
Que peut-on dire de $d(t)$ et $F_3(t)$ sur $I_3$
Quelle est la distance parcourue par ce motocycliste durant tout le trajet ?
Déterminer les variations de $d(t)$ sur $[0;105]$
Dans un repère orthogonal adapté, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de $d$ sur $[0;105]$.