Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in I$. La fonction $f$ admet une *{bold::limite finie} $l \in \mathbb{R}$ en $a$ quand la distance $|l-f(x)|$ peut être rendue aussi *{rdu::petite} que l'on veut si $x$ est suffisamment *{tdu::proche} de $a$. On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a}{\lim} \;f(x) = l$
La fonction $f$ est *{bold::continue en $a$} quand : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a}{\lim} \;f(x) = f(a)$ vspace{5} La fonction $f$ est *{bold::continue} sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ quand $f$ est continue pour tout réel $a \in I$. Sa courbe représentative ne possède pas de "trou" sur $I$ : on peut la tracer sans lever le crayon.
Une fonction *{bold::dérivable} sur un intervalle $I$ de $\R$ est *{bold::continue} sur $I$.
L'algorithme suivant permet d'afficher la limite d'une fonction :
function f(x) {return 3*x + 3;} var distance = 0.001; var step = 0.001; var x = 0; var a = 10; var l = 0; while (Math.abs(f(x) - f(a)) > distance) { l = f(x); x = x+step; } algo.output('La limite de la fonction f en '+a+' vaut '+l); algo.output('f('+a+') = '+f(a));
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f_1(x)$ avec $f_1(x) = 5x+9$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow -6}{\lim} \;f_2(x)$ avec $f_2(x) = 8x^2$
||
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 2}{\lim} \;f_3(x)$ avec $f_3(x) = \sqrt{x^2+1}$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 3}{\lim} \;f_4(x)$ avec $f_4(x) = \dfrac{1}{x+2}$
,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($+\infty$) en $a$ par *{bold::valeurs supérieures} quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::grand} que l'on veut si $x > a $ est suffisamment *{tdu::proche} de $a$. On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} \;f(x) = +\infty$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($+\infty$) en $a$ par *{bold::valeurs inférieures} quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::grand} que l'on veut si $x < a $ est suffisamment *{tdu::proche} de $a$. On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} \;f(x) = +\infty$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} \;f_1(x) $ avec $\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} \;f_2(x) $ avec $\displaystyle f_2(x) = \frac{7}{2-x}$
||
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 4^{+}}{\lim} \;f_3(x) $ avec $\displaystyle f_3(x) = \frac{x}{2x^2 - 32}$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} \;f_4(x) $ avec $\displaystyle f_4(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{6- 2x}$
,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($-\infty$) en $a$ par *{bold::valeurs supérieures} quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::petit} que l'on veut si $x > a $ est suffisamment *{tdu::proche} de $a$. On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} \;f(x) = -\infty$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($-\infty$) en $a$ par *{bold::valeurs inférieures} quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::grand} que l'on veut si $x < a $ est suffisamment *{tdu::proche} de $a$. On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} \;f(x) = -\infty$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} \;f_1(x) $ avec $\displaystyle f_1(x) = \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 2^{-}}{\lim} \;f_2(x) $ avec $\displaystyle f_2(x) = \frac{7}{2-x}$
||
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 4^{+}}{\lim} \;f_3(x) $ avec $\displaystyle f_3(x) = \frac{x}{2x^2 - 32}$
&
$\displaystyle \underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} \;f_4(x) $ avec $\displaystyle f_4(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{6- 2x}$
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une *{bold::asymptote verticale} (parallèle à l'axe des ordonnées) d'équation $x=a $ quand $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} \;f(x)$ ou $\displaystyle \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} \;f(x)$ sont infinies ($+\infty$ ou $-\infty$).
C'est à dire que $\mathcal{C}_f$ se "rapproche" de plus de plus de la droite verticale d'équation $x=a$.
Montrer que les représentations graphiques des fonctions $f$ suivantes admettent une asymptote verticale d'équation $x=a$ ($a \in \mathbb{R}$) :
$\displaystyle f: x \mapsto \frac{-1}{x^2}$ et $\displaystyle a = 0$
&
$\displaystyle f: x \mapsto 12 + \frac{1}{x-9}$ et $\displaystyle a = 9$
||
$\displaystyle f: x \mapsto x^2 + \frac{1}{9-x^2}$ et $\displaystyle a = 3$
&
$\displaystyle f: x \mapsto 2x - 8 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\displaystyle a = 0$
||
$\displaystyle f: x \mapsto 5x - 1 + \frac{1}{2x^2 - 8}$ et $\displaystyle a = -2$
&
$\displaystyle f: x \mapsto - 8 + \frac{-1}{\sqrt{x - 8}}$ et $\displaystyle a = 8$
,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite finie} $l \in \mathbb{R}$ en $+\infty$ quand la distance $|l-f(x)|$ peut être rendue aussi *{tdu::petite} que l'on veut (proche de $0$) si $x $ est suffisamment *{tdu::grand} (proche de $+\infty$). On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = l$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite finie} $l \in \mathbb{R}$ en $-\infty$ quand la distance $|l-f(x)|$ peut être rendue aussi *{tdu::petite} que l'on veut (proche de $0$) si $x $ est suffisamment *{tdu::petit} (proche de $-\infty$). On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = l$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{-1}{x}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x^2- 16}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \sqrt{5} - \frac{1}{1+x^2}$
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une *{bold::asymptote horizontale} (parallèle à l'axe des abscisses) d'équation $y=l $ quand $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = l$ ou $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = l$. C'est à dire que $\mathcal{C}_f$ se "rapproche" de plus de plus de la droite horizontale d'équation $y=l$.
Montrer que les représentations graphiques des fonctions $f$ suivantes admettent une asymptote horizontale d'équation $y=a$ ($a \in \mathbb{R}$) :
$\displaystyle f: x \mapsto 3 - \frac{1}{x^2}$ et $\displaystyle a = 3$
&
$\displaystyle f: x \mapsto 12 + \frac{1}{x-9}$ et $\displaystyle a = 12$
||
$\displaystyle f: x \mapsto -4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{9-x^2}$ et $\displaystyle a = -4$
&
$\displaystyle f: x \mapsto \frac{2x^2 - 8}{4x^2}$ et $\displaystyle a = 0,5$
,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($+\infty$) en $+\infty$ quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::grand} que l'on veut (proche de $+\infty$) si $x $ est suffisamment *{tdu::grand} (proche de $+\infty$). On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = +\infty$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($+\infty$) en $-\infty$ quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::grand} que l'on veut (proche de $+\infty$) si $x $ est suffisamment *{tdu::petit} (proche de $-\infty$). On écrit alors : $\displaystyle \underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = +\infty$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($-\infty$) en $+\infty$ quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::petit} que l'on veut (proche de $-\infty$) si $x $ est suffisamment *{tdu::grand} (proche de $+\infty$). On écrit alors : $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = -\infty$ vspace{10} ,, La fonction $f$ admet une *{bold::limite infinie} ($-\infty$) en $-\infty$ quand $f(x)$ peut être rendu aussi *{tdu::petit} que l'on veut (proche de $-\infty$) si $x $ est suffisamment *{tdu::petit} (proche de $-\infty$). On écrit alors : $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = -\infty$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{-1}{x} + x^2$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = -2x^6$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{7x^2 + 9x -9}{6x -8}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{4 - x^2}{2 - 6x}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = 3x -9$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = -4x + 1$
Soit $a$ ; $b$ et $\alpha$ trois réels :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $-\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(ax+b)}$ avec $a > 0$ & $a\alpha+b$ & $-\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(ax+b)}$ avec $a < 0$ & $a\alpha+b$ & $+\infty$ & $-\infty$
vspace{5} La fonction *{bold::affine} $x \mapsto ax+b$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Soit $\alpha$ un réel :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $-\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(x^2)}$ & $\alpha^2$ & $+\infty$ & $+\infty$
vspace{5} La fonction *{bold::carrée} $x\mapsto x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Écrire un
function f(x) {return x*x;} var distance = 0.001; var step = 0.001; var x = 0; var a = 10; var l = 0; while (Math.abs(f(x) - f(a)) > distance) { l = f(x); x = x+step; } algo.output('La limite de la fonction f en '+a+' vaut '+l); algo.output('f('+a+') = '+f(a));
permettant de déterminer $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;x^2 $ vspace{1}
Écrire un
function f(x) {return -2*x + 5;} var distance = 0.001; var step = 0.001; var x = 0; var a = 10; var l = 0; while (Math.abs(f(x) - f(a)) > distance) { l = f(x); x = x+step; } algo.output('La limite de la fonction f en '+a+' vaut '+l); algo.output('f('+a+') = '+f(a));
permettant de déterminer que la fonction $f(x) = -2x+5$ est continue en $2$.
Soit $\alpha$ un réel non nul :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $-\infty$ & $0^-$ & $0^+$ & $+\infty$ || $\lim{(\frac{1}{x})}$ & $\frac{1}{\alpha}$ & $0^-$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $0^+$
vspace{5} La fonction *{bold::inverse} $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue
sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
Soit $\alpha$ un réel positif :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $0$ & $+\infty$ || $\lim{(\sqrt{x})}$ & $\sqrt{\alpha}$ & $0$ & $+\infty$
vspace{5} La fonction *{bold::racine carrée} $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0;+\infty[$.
Soit $\alpha$ un réel :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $-\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(|x|)}$ & $|\alpha|$ & $+\infty$ & $+\infty$
vspace{5} La fonction *{bold::valeur absolue} $x \mapsto |x|$ est continue
sur $]-\infty;+\infty[$.
Soit $\alpha$ un réel et $n$ un entier naturel non nul :
$x \rightarrow $ & $\alpha$ & $-\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(x^n)}$ si $n$ est pair & $\alpha^n$ & $+\infty$ & $+\infty$ || $\lim{(x^n)}$ si $n$ est impair & $\alpha^n$ & $-\infty$ & $+\infty$
vspace{5} La fonction *{bold::puissance} $x \mapsto x^n$ est continue sur $]-\infty;+\infty[$.
Écrire un
function f(x) {return x*x;} var distance = 0.001; var step = 0.001; var x = 0; var a = 10; var l = 0; while (Math.abs(f(x) - f(a)) > distance) { l = f(x); x = x+step; } algo.output('La limite de la fonction f en '+a+' vaut '+l); algo.output('f('+a+') = '+f(a));
permettant de déterminer $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;\dfrac{-5}{x} $ vspace{1}
Écrire un
function f(x) {return -2*x + 5;} var distance = 0.001; var step = 0.001; var x = 0; var a = 10; var l = 0; while (Math.abs(f(x) - f(a)) > distance) { l = f(x); x = x+step; } algo.output('La limite de la fonction f en '+a+' vaut '+l); algo.output('f('+a+') = '+f(a));
permettant de déterminer que la fonction $f(x) = |7x^2 - 3|$ est continue en $-1$.
Soient deux fonctions $f$ et $g$. Le tableau ci-dessous présente la limite de la somme $f+g$ en fonction des limites de $f$ et $g$. Dans certains cas il n'est pas possible de déterminer la limite de la somme, on parle alors de *{bold::Forme Indéterminée} (FI).
$\lim f$
$+$ $l_f$ $+\infty$ $-\infty$
$\lim g$ $l_g$ $l_f+l_g$ $+\infty$ $-\infty$
$+\infty$ $+\infty$ $+\infty$ FI
$-\infty$ $-\infty$ FI $-\infty$
$l_f$ et $l_g$ sont deux réels.
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = x^6 + \frac{1}{x}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 9}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = x^2 + \dfrac{1}{9-x}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = 9 - 4x + 6x^2$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} - 8x^2 + \dfrac{-1}{x^5}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -6^-}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = 7 + \frac{1}{x+6} - x^2$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = -5\sqrt{x} + \dfrac{-3}{x^2}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -1}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = x^2 + 7x -1$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = 12x^2 - 5x - 100$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = -2\sqrt{x} -2x + 1$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0+}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x}$
Soient deux fonctions $f$ et $g$. Le tableau ci-dessous présente la limite du produit $f\times g$ en fonction des limites de $f$ et $g$. Dans certains cas il n'est pas possible de déterminer la limite de la somme, on parle alors de *{bold::Forme Indéterminée} (FI). $l_f$ et $l_g$ sont deux réels.
$\lim f$
$\times$ $l_f > 0$ $l_f < 0$ $l_f = 0$ $+\infty$ $-\infty$
$\lim g$ $l_g > 0$ $l_fl_g$ $l_fl_g$ $0$ $+\infty$ $-\infty$
$l_g < 0$ $l_fl_g$ $l_fl_g$ $0$ $-\infty$ $+\infty$
$l_g = 0$ $0$ $0$ $0$ FI FI
$+\infty$ $+\infty$ $-\infty$ FI $+\infty$ $-\infty$
$-\infty$ $-\infty$ $+\infty$ FI $-\infty$ $+\infty$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = x^6 \times \frac{1}{x^5 +9}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = -5x \times \sqrt{x^2 - 1}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 2}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{(x^2 - 4x + 4)}{(x-2)^4} $
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \sqrt{x}\times (x^2 - 5x + 1)$
Soit $f$ une fonction. Le tableau ci-dessous présente la limite de l'inverse $\dfrac{1}{f}$ en fonction de la limite de $f$. $a$ est un réel non nul.
$\lim f$ $a$ $-\infty$ $+\infty$ $0^+$ $0^-$
$\lim \dfrac{1}{f}$ $\dfrac{1}{a}$ $0^-$ $0^+$ $+\infty$ $-\infty$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} + x^2}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -1}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{-2}{9-x^2 + 1}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{x^3 - 3x^2 + 2x - 1}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \dfrac{-1}{x^5}$
Soient $u$ et $f$ deux fonctions telles que pour tout $x$ dans l'ensemble de définition de $u$, $u(x)$ appartient à l'ensemble de définition de $f$. $a$, $b$ et $c$ désignent trois réels ou $-\infty$ ou $+\infty$ : si $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} u(x) = b$ et $\displaystyle\underset{x \rightarrow b}{\lim} f(x) = c$ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow a}{\lim} f(u(x)) = c$
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 7x + 6}}$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x^2 + 4}}$
||
$\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = (7 - x^2 + 2x)^3$
&
$\displaystyle\underset{x \rightarrow 2}{\lim} \;f(x) $ avec $\displaystyle f(x) = \Big( \dfrac{1}{(x-2)^3}\Big)^{-2}$
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies que un intervalle de la forme $[a;+\infty[$ telles que pour tout $x > a$ $f(x) \leqslant g(x)$ vspace{5} ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = +\infty $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;g(x) = +\infty $ et si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = +\infty $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;g(x) = +\infty $ vspace{5} ,, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;g(x) = -\infty $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = -\infty $ et si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;g(x) = -\infty $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = -\infty $
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies que un intervalle de la forme $[a;+\infty[$ telles que pour tout $x > a$ $hg(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ vspace{5} ,, Pour un réel $l$, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;g(x) = l $ et $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;h(x) = l $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \;f(x) = l $ vspace{5} ,, Pour un réel $l$, si $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;g(x) = l $ et $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;h(x) = l $ alors $\displaystyle\underset{x \rightarrow -\infty}{\lim} \;f(x) = l $
Soit une fonction $f$ telle que $f(x)$ vérifie une inégalité ou un encadrement sur un ensemble donné. Indiquer les limites qu’on peut en déduire parmi les deux proposées.
Pour tout réel $x \not= 0$, on a $\dfrac{1}{x} \leqslant f(x)$ : *{bold::a)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^-}{\lim} \;f(x) $ hspace{20} *{bold::b)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} \; f(x)$
Pour tout réel $x \not= 0$, on a $f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$ : *{bold::a)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^-}{\lim} \;f(x) $ hspace{20} *{bold::b)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} \; f(x)$
Pour tout réel $x > 1$, on a $x +\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant x+1$ : *{bold::a)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 1^+}{\lim} \;f(x) $ hspace{20} *{bold::b)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \; f(x)$
Pour tout réel $x > 0$, on a $-\dfrac{1}{x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}$ : *{bold::a)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} \;f(x) $ hspace{20} *{bold::b)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow +\infty}{\lim} \; f(x)$
Pour tout réel $x \in ]0;1[$, on a $|f(x) -1| \leqslant x$ : *{bold::a)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 0^+}{\lim} \;f(x) $ hspace{20} *{bold::b)} $\displaystyle\underset{x \rightarrow 1^-}{\lim} \; f(x)$
Soit une fonction $f$ *{bold::continue} sur un intervalle $[a;b]$.
,, $f$ atteint son minimum en $m$ et son maximum en $M$
,, pour tout $k \in [m;M]$, il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que $f(c) = k$ vspace{10} Si la fonction $f$ est strictement *{bold::monotone} sur $[a;b]$ alors le réel $c$ est *{bold::unique}.
vspace{10} Soit la fonction $f$ définie sur $I=[-4;1]$ par : $f(x) = x^3+6x^2+9x+3$
Justifier que $f$ est continue sur $I$. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $I$.
Dénombrer les solutions de l'équation $f(x) = 2$.
Démontrer que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution unique $\alpha$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ au dixième près.
vspace{20} Soit la fonction $g$ définie sur $J=[-1;3]$ par : $g(x) = 0,4x^5 - 8x - 3$
Justifier que $g$ est continue sur $J$. Dresser le tableau de variations de $g$ sur $J$.
Démontrer que l'équation $g(x) = 2$ admet une solution unique $\beta$ sur $[2;3]$. Déterminerune valeur approchée de $\beta$ au centième près.
Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ;\vecteur{i} ;\vecteur{j})$ d’unité graphique 2 cm. Soit la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = \sqrt{x^2 + 1} − x$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
Déterminer la limite de $u$ en $-\infty$
Montrer que, pour tout $x$ réel : $u(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+x$. En déduire la limite de $u$ en $+\infty$.
Montrer que $u(x) + 2x$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$.
Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$. En déduire le signe de $u(x) + 2x$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\R$ par : $u'(x) = \frac{-u(x)}{\sqrt{x^2+1}}$
Étudier les variations de $u$ puis tracer $\mathcal{C}$.
Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-2x}}{x-1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Trouver la ou les bonne(s) réponse(s) parmi les quatre réponses proposées :
$\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=-1$
$\mathcal{C}$ n’admet pas d’asymptote.
$\mathcal{C}$ admet une asymptote d’équation $x = 1$.
$\mathcal{C}$ admet une asymptote d’équation $y = 1$.
Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a ; +\infty[$. Compléter la phrase suivante : « On dit que $f$ admet une limite finie $l$ en $+\infty$ si ... ».
Démontrer le théorème « des gendarmes » : « Soit $f$ , $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a ; +\infty[$. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et si, pour tout $x$ suffisamment grand, on a l’encadrement $g(x) \leqslant f (x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est égale à $l$ ».
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$
Tracer sa courbe représentative sur $[0;+\infty[$.
Montrer que, pour tout $y \in ]0 ; 1]$, l’équation $f(x)=y$ a une unique solution $\alpha$ dans $[0; +\infty[$.
Exprimer $\alpha$ en fonction de $y$.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et soit $a$ un élément de $I$. Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est dérivable en $a$.
Si $f$ est dérivable en $a$, alors la fonction $h \mapsto \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ a une limite finie en $0$.