Une *{bold::suite numérique}, notée $(u_n)$ ou $u$, est une fonction définie sur $\N$. L'image de l'entier $n$, notée $u_n$ (sans les parenthèses), est appelée *{bold::terme de la suite $u$ d'indice $n$}. Ainsi :
$\begin{array}{rcl} (u_n) : \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ n & \longmapsto & u_n \end{array}$
Une *{bold::suite explicite} est un suite dont les termes sont de la forme : $u_n=f(n)$ ou $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_n = -2n^2$
Pour quelle(s) valeur(s) de $n$, $u_n$ n'est pas définie.
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $\ldots$ et $u_{8}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $8$.
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = -30258$ ?
Quels sont les indices de $u$ tels que $u_n \geqslant -200$ ?
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = -10$ ?
Soit $u$ une suite numérique définie par : $\displaystyle u_n = \frac{-3}{n}$
Pour quelle(s) valeur(s) de $n$, $u_n$ n'est pas définie.
Calculer les termes $u_1$, $\ldots$ et $u_{5}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $5$.
Quel est l'indice de $u$ tel que $u_n = 10^{-34}$ ?
Quels sont les indices de $u$ tels que $u_n \geqslant 1$ ?
Une suite numérique $u$ est définie par une *{bold::relation de récurrence} quand son premier terme est connu et le terme $u_{n+1}$ peut être calculé en fonction du terme $u_n$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 3u_n-2$
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $\ldots$ et $u_{8}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $8$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_0 = 4$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{3}{4}u_n+1$
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $\ldots$ et $u_{8}$.
Dans un repère, placer les points $(n;u_n)$ pour tous les entiers naturels plus petits que $8$.
Soit $u$ une suite numérique définie par : $u_0 = 2$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n+3$
Déterminer la fonction $f$ telle que $\displaystyle u_{n+1} = f(u_n)$
Dans un repère, tracer la courbe représentative de $f$ puis dans ce même repère, tracer la droite d'équation $y=x$ (c'est la première bissectrice des axes)
Calculer les termes $u_0$ , $u_1$, $u_3$ et $u_{4}$.
Placer dans le repère, les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$
Soit $P_n$ une propriété dépendant d'un entier $n$. Soit $n_0 \in \N$ ($P_n$ peut être vue comme le terme d'une suite $(P_n)$ de propositions mathématiques). vspace{20} On dit que la propriété $P$ est *{bold::héréditaire} à partir du rang $n_0$ lorsque, pour tout $n \geqslant n_0$ on a l'implication suivante : $P_n$ est vraie $\Longrightarrow$ $P_{n+1}$ est vraie aussi vspace{20} Si $P_{n_0}$ est vraie (*{bold::initialisation}) et si $P$ est héréditaire (*{bold::hérédité}) à partir du rang $n_0$ alors : $P_n$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$
On considère la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence : $u_{n+1} = 0,2u_n - 10$ et $u_0 = 10$.
Le but est de démontrer par récurrence que pour tout $n \in \N$ on a $u_n \geqslant -12,5$ vspace{20} Soit la proposition mathématique : $P_n$ : $u_n \geqslant -12,5$ pour $n\geqslant 0$ vspace{20} ,, *{bold::Initialisation} : Pour $n_0 = 0$ on a $u_{n_0} = u_0 = 10 $ donc $u_0 \geqslant -12,5$. $P_{n_0}$ est vraie vspace{20} ,, *{bold::Hérédité} : On suppose que pour *{tdu::un} entier $n \geqslant 0$, $P_n$ est vraie c'est à dire $u_n \geqslant -12,5$.
$u_n \geqslant -12,5 \Longrightarrow 0,2u_n - 10 \geqslant 0,2\times (-12,5) - 10 \Longrightarrow 0,2u_n - 10 \geqslant -12,5 \Longrightarrow u_{n+1} \geqslant -12,5$
Donc $P_{n+1}$ est vraie ce qui implique que $P$ est *{bold::héréditaire} vspace{20} ,, *{bold::Conclusion} : $P_{n_0}$ est vraie et $P$ est héréditaire alors $P_n$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$ ce qui implique que $u_n \geqslant -12,5$ pour tout $n \in \N$.
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0 = 4$ et $v_{n+1} = 2v_n − 7$ pour tout entier naturel $n$. Démontrer par récurrence que $v_n = 7 − 3 \times 2n$ pour tout $n \leqslant 0$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ pour tout $n \in \N$. Montrer par récurrence que $2 \leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier $n \geqslant 0$.
On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0 = 0$ et $w_n =−\frac{1}{3}w_{n−1}+4$ pour tout $n\in \N$. Montrer par récurrence que $1 \leqslant w_n \leqslant 4$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
Montrer par récurrence que $4^n − 1$ est un multiple de $3$ pour tout $n \geqslant 0$.
Montrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant 1$ on a $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_n =3v_{n−1}−2n+6$ pour tout entier $n \geqslant 1$.
Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
La suite $(v_n )$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
Montrer par récurrence que $v_n \geqslant n$ pour tout $n \geqslant 0$.
Montrer par récurrence que $3^n \geqslant 1+2n$ pour tout $n \geqslant 0$.
,, Une suite $u$ est *{bold::croissante}, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ vspace{5} Dans le cas où les termes de la suite $u$ sont tous strictement positifs : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$ vspace{10} ,, Une suite $u$ est *{bold::décroissante}, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \leqslant u_n$ ou $u_{n+1} - u_n \leqslant 0$ vspace{5} Dans le cas où les termes de la suite $u$ sont tous strictement positifs : $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$ vspace{10} ,, Une suite $u$ est *{bold::monotone} si elle croissante ou décroissante
Soit une suite $u$ définie par $u_n = f(n)$ avec $n\in \mathbb{N}$ et $f$ une fonction définie sur $[0;+\infty[$. vspace{5} ,, Si $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$ alors $u$ est croissante. vspace{5} ,, Si $f$ est décroissante sur $[0;+\infty[$ alors $u$ est décroissante.
Déterminer la monotonie des suites suivantes :
$u_n = (-1)^n$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$u_n = 5n +9$ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle u_n = \frac{1}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = \sqrt{n+2}$ pour $n \in \mathbb{N}$
||
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0= 5$ et $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + 3$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0= 2$ et $u_{n+1} = 2u_n -1$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
,, Une suite $u$ est *{bold::majorée} par un réel $M$, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} \leqslant M$. $M$ est le *{bold::majorant} de la suite $u$. vspace{10} ,, Une suite $u$ est *{bold::minorée} par un réel $m$, si pour tout entier naturel $n$ : $u_{n} \geqslant m$. $m$ est le *{bold::minorant} de la suite $u$. vspace{10} ,, Une suite $u$ est *{bold::bornée} si elle majorée *{tdu::et} minorée.
Donner un minorant de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = 5+2n\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^n$
Donner un majorant de la suite $(s_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $s_n = -2n^2+8n+3$
Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \dfrac{6n+2}{2n+1}$ pour tout entier naturel est majorée par $3$.
Soit $(r_n)$ la suite définie par $r_0 = 6$ et $r_{n+1} = \sqrt{r_n+4}$ pour tout entier naturel. Montrer par récurrence que $2 \leqslant r_n \leqslant 6$ pour tout $n \geqslant 0$. Que peut-on en déduire ?
Donner un minorant de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = n^2 -4n + 6$
Démonter que de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \geqslant 0$ par $u_n = \dfrac{8n+1}{n+5}$ est bornée par $0$ et $8$.
Une suite $u$ *{bold::converge vers} un réel $l$ quand ses termes $u_n$ se rapprochent de plus en plus vers $l$ lorsque $n$ devient de plus en plus grand. Cela signifie que $u_n$ tend vers le réel $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et on note : $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{u_{n}} \longrightarrow l$
Quand une suite $u$ converge vers le réel $l$, $l$ est appelé la *{bold::limite} de la suite $u$. vspace{10} Quand une suite $u$ converge vers le réel $l$, on note : $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = l$
Une suite $u$ est *{bold::convergente} vers un réel $l$ lorsque pour tout entier naturel $p$, il existe un rang à partir duquel tous les termes $u_n$ sont à une distance de $l$ inférieure à $10^{-p}$ : $| u_n - l | \leqslant 10^{-p}$
A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite éventuelle des suites $u$ :
$\displaystyle u_n = \frac{2n+1}{n-1} $ pour $n > 1$
&
$\displaystyle u_n = \frac{1}{\sqrt{n}+1} $ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle u_n = 2 - \frac{1}{n^2} $ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = \frac{\sqrt{n}}{-n+10} $ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle u_0 = 4$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n$
&
$\displaystyle u_0 = 2$ et $\displaystyle u_{n+1} = 0,7u_n$
||
$\displaystyle u_0 = 1$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{5}{u_n}$
&
$\displaystyle u_n = \frac{2n^2+n-5}{4n^2+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle u_n = \frac{n-1}{n^2+3n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n =\frac{(n+1)^3}{3^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$
Une suite $u$ est *{bold::divergente} quand elle ne converge pas vers un réel ou bien que ses termes tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$. $\displaystyle \underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = +\infty$ ou $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = -\infty$
Une suite $u$ *{bold::tend} vers un $+\infty$ lorsque pour tout entier naturel $p$, il existe un rang à partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $10^{p}$ : $u_n \geqslant 10^{p}$
Une suite $u$ *{bold::tend} vers un $-\infty$ lorsque pour tout entier naturel $p$, il existe un rang à partir duquel tous les termes $u_n$ sont inférieurs à $-10^{p}$ : $u_n \leqslant -10^{p}$
A l'aide d'une calculatrice, conjecturer la limite éventuelle des suites $u$ :
$\displaystyle u_n =n^3 $ pour $n > 1$
&
$\displaystyle u_n = n - \frac{10}{n} $ pour $n \in \mathbb{N}^*$
||
$\displaystyle u_n = 10^{-8}n^3 $ pour $n \in \mathbb{N}$
&
$\displaystyle u_n = \frac{n^3+n-1}{n^2+1} $ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle u_0 = 4$ et $\displaystyle u_{n+1} = 100u_n$
&
$\displaystyle u_0 = 2$ et $\displaystyle u_{n+1} = \frac{u_n}{0,03}$
||
$\displaystyle u_0 = 1$ et $\displaystyle u_{n+1} = 8u_n^2 - 2u_n$
&
$\displaystyle u_n = -\frac{2^n}{n^2}$ pour $n \in \mathbb{N}$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n = +\infty$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^2 = +\infty$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \sqrt{n} = +\infty$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{1}{n} = 0$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{1}{n^2} = 0$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{1}{\sqrt{n}} = 0$ || Pour $k \in \N$ tel que $n \geqslant 1$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^k = +\infty$ & $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{1}{n^k} = 0$ ||
La suite de terme général $q^n$ converge vers 0 si $-1 < q < 1$, diverge vers $+\infty$ si $q > 1$ et n'a pas de limite si $q \leqslant -1$
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n = n^2$. Soit $p$ un nombre entier pair. Donner le rang $n$ à partir duquel $u_n \geqslant 10^p$. En déduire $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^2$
Soient $l$ et $l'$ deux nombres réels. *{bold::FI} signifie *{bold::Forme Indéterminée} et indique qu'il n'est pas possible de conclure en l'état. $±\infty$ signifie $+\infty$ ou $-\infty$. vspace{10} *{bold:: Somme de limites}
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n $ & $l$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n $ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n+v_n $ & $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & *{bold::FI} & $-\infty$
vspace{10} *{bold:: Produit de limites}
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n $ & $l$ & $l > 0$ & $l > 0$ & $l < 0$ & $l < 0$ & $±\infty$ & $0$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n $ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $±\infty$ & $±\infty$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n\times v_n $ & $l\times l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $±\infty$ & *{bold::FI}
vspace{10} *{bold:: Quotient de limites}
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n $ & $l$ & $l$ & $±\infty$ & $±\infty$ & $l\not= 0$ & $±\infty$ & $0$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n $ & $l'\not= 0$ & $±\infty$ & $l' \not= 0$ & $±\infty$ & $0^+$ ou $0^-$ & $0^+$ ou $0^-$ & $0$ || $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{u_n}{v_n} $ & $\dfrac{l}{l'}$ & $0$ & $±\infty$ & *{bold::FI} & $±\infty$ & $±\infty$ & *{bold::FI}
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; 4n^2 - \dfrac{1}{n} + 3^n$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; -2n^2+n$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{2n^3+3}{5n^4+8n^2-n}$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; 11^n$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; -n^3\sqrt{n}$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; -3n^3+5n^2+6n-1$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{0,5^n}{n}$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; (n^2-7n+1)(n^3 - 8n)$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{9n^7 - 5n^4+1}{n^7+1}$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \Big( \dfrac{-1}{2} \Big)^n + 8$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; -2^n - 5n^2$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{6n^2 + 4n-2}{8n^3+7n^2-4}$
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang.
,, Si $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = +\infty$ alors $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n = +\infty$.
,, Si $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n = -\infty$ alors $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = -\infty$.
Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang.
Si $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n = \displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; w_n = l$ avec $l \in \R$ alors $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; v_n = l$.
Soit $a > 0$. L'inégalité $(1+a)^n \geqslant 1 + na$ est vraie pour tout $n \in \N$. Il en résulte que $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; q^n = +\infty$ pour $q > 1$.
Déterminer les limites suivantes :
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{\cos{(n)}}{n^2}$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^3 + 3\sin{(n)}$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{(-1)^n}{n}$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; -5n^4+2n^4\sin{(\sqrt{n})}$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^4 - n^3\cos{(n^5)}$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; n^2 + \Big(\sin{(n^3)} + \cos{(n^2)} \Big)n$
||
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; (3+(-1)^n)0,7^n$
&
$\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; \dfrac{\sin{(n^2)}}{n}$
Démontrer l'inégalité de Bernouilli.
,, Une suite croissante et majorée converge
,, Une suite décroissante et minorée converge
,, Une suite croissante (respectivement décroissante) non majorée (respectivement non minorée) diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$).
Si une suite $(u_n)$ est croissante et converge vers un réel $l$ alors elle est majorée par $l$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 4$ pour tout $n \in \N$.
Dans un repère orthonormé, tracer les droites d’équation $y=x$ et $y= \frac{1}{2}x+4$.
Sans calcul, placer les 5 premiers termes de la suite $(u_n)$ sur l’axe des abscisses.
Conjecturer une minoration, une majoration et les variations de $(u_n)$.
Démontrer ces conjectures.
En déduire que $(u_n)$ est convergente.
Déterminer $\displaystyle\underset{n \rightarrow +\infty}{\lim} \; u_n$.
Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_n + \dfrac{1}{3}n + 1$ pour tout $n \in \N$.
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. Arrondir à $10^{-2}$ près.
Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant n+3$.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n+3 - u_n)$.
En déduire une validation de la conjecture précédente.
On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\N$ par $v_n = u_n - n$
Démontrer que $(v_n)$ est bien une suite géométrique de raison $\frac{2}{3}$
En déduire que tout entuer naturel $n$, $u_n = 2\big( \dfrac{2}{3}\Big)^n + n$
Déteminer la limite de la suite $(u_n)$.
Pour tout $n \in \N$ on pose : $\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ et $T_n = \dfrac{S_n}{n^2}$
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(T_n)$.
Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + 3\times 0,5^n$ pour tout $n \in \N$. On considère la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par $v_n = u_n - 10\times 0,5^n$.
Recopier et, à l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite $(u_n)$ approchées à $10^{-2}$ près :
$n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ || $u_n$ & & & & & & & & &
D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n \geqslant \frac{15}{4}\times 0,5^n$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} − u_n \leqslant 0$.
Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est bien une suite géométrique. On précisera le premier et la raison.
En déduire que $u_n = -8\times (\frac{1}{5})^n + 10 \times 0,5^n$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$
Compléter les lignes (6), (8) et (9) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \leqslant 0,01$.
// Variables var n = 0; var u = 2; // Traitement while ( ... ) { n = ... ; u = ... ; } // sortie algo.output('n vaut '+n);
On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité minute par minute.
On effectue à l’instant $0$ une injection de $10\;ml$ de médicament. On estime que $20\%$ du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de $n$ minutes. Ainsi $u_0 = 10$.
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à $1\%$ de la quantité initiale ? Justifier la réponse.
Une machine effectue à l’instant $0$ une injection de $10\;ml$ de médicament. On estime que $20\%$ du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en dessous de $5\;ml$, la machine réinjecte $4\;ml$ de produit. Au bout de $15$ minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang à la minute $n$. L’algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute.
// Variables var n; var v = 10; // Traitement for ( n = 1 ; n <= 15 ; n++) { v =0.8*v; if ( v < 5) { v = v+4; } algo.output('Pour n='+n+', v vaut '+v); }
Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à $10^{-2}$ et pour $n$ supérieur ou égal à $0$, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l’algorithme.
$n$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ & $14$ & $15$ || $v_n$ & $10$ & $8$ & $6,4$ & & & & & $8,15$ & $6,52$ & $5,21$ & $8,17$ & $6,54$ & $5,23$ & $8,18$ & $6,55$ & $5,24$
Au bout de $15$ minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme ?
On souhaite programmer la machine afin qu’elle injecte $2\;ml$ de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à $6\;ml$ et qu’elle s’arrête au bout de $30$ minutes. Recopier l’algorithme précédent en le modifiant pour qu’il affiche la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.
On programme la machine de façon que :
,, à l’instant $0$ ,elle injecte $10\;ml$ de médicament ;
,, toutes les minutes, elle injecte $1\;ml$ de médicament.
On estime que $20\%$ du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel $n$, on note $w_n$ la quantité de médicament, en ml, présente dans le sang du patient au bout de $n$ minutes.
Justifier que pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1} = 0,8w_n + 1$.
Pour tout entier naturel $n$, on pose $z_n = w_n − 5$. Démontrer que $(z_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire l’expression de $w_n$ en fonction de $n$.
Quelle est la limite de la suite $(w_n)$ ? Quelle interprétation peut-on en donner ?